Рамануджан

Когда ему шёл пятый год, Рамануджан, как и все мальчики-брамины, был отдан в двухлетнюю школу, по окончании которой он поступил в начальную школу при городской средней школе Кумбаконама, где протекала вся его дальнейшая школьная жизнь. В 1897 г. он окончил начальную школу и занял первое место по результатам стипендиальных экзаменов в районном центре Танджоре, что дало ему право дальнейшего обучения в средней школе за половинную плату. Примерно к этому же времени относятся первые воспоминания о нём его сверстников и старших товарищей. В этих воспоминаниях он описывается как тихий задумчивый мальчик, редко участвующий в играх и шалостях своих одноклассников.

Воспитанный в мистических традициях брахманизма, Рамануджан уже во втором классе средней школы (что соответствует примерно пятому классу нашей школы) задавал старшим товарищам и учителям вопрос о «высшей истине» в математике, так как привык считать, что в каждой области человеческой деятельности существует некая мистическая «высшая истина», первоначало вещей, управляющая данной областью и содержащая в себе всё, что может быть в ней известно. Говорят, что в ответ он получал указания на теорему Пифагора, или на проценты и учёт векселей.

Уже в четвёртом классе средней школы Рамануджан самостоятельно изучил полный курс тригонометрии по двухтомному руководству Лони (Loney), которое он одолжил у знакомого студента Мадрасского университета. Этот студент, как рассказывают, был поражён знаниями школьника по тригонометрии и часто обращался к Рамануджану за помощью в решении задач. В пятом классе Рамануджан самостоятельно открыл формулы Эйлера, выражающие синус и косинус через показательную функцию мнимого аргумента, но, узнав, что они уже известны, спрятал свои записи на чердаке дома. Это было его первое столкновение с западной математикой, из которого он понял, что учебник Лони содержит далеко не все известные математические факты. Однако бедность кумбаконамской библиотеки и плохие знания английского языка сильно затрудняли математическое развитие молодого Рамануджана.

Только в 1903 г., когда Рамануджан был в шестом классе средней школы, ему удалось при помощи одного знакомого получить единственную книгу по высшей математике, имевшуюся в Кумбаконаме. Это была книга Карра «Сборник элементарных результатов чистой и прикладной математики», изданная в двух томах в Лондоне в 1880—1886 гг. Книга Карра содержит 6165 теорем и формул, большинство которых приводится без доказательств и выводов; конспективные доказательства намечены только для небольшого числа важнейших теорем. Двухтомник Карра, как и сотня других книг, был бы вскоре предан забвению, если бы не тот факт, что его читал Рамануджан. Это обстоятельство позднее повлекло за собой тщательнейшее рассмотрение этого учебника виднейшими математиками, пытавшимися установить, какие идеи Рамануджан мог почерпнуть из него и на какие мысли чтение Карра могло натолкнуть его. Заинтересовала математиков и биография Карра. Джордж Шубридж Карр окончил Кембриджский университет и подвизался в Лондоне в качестве частного преподавателя математики. Он издал свой сборник в помощь своим ученикам-студентам. По отзыву Харди, книга Карра, которую нельзя назвать выдающейся, всё же имела несомненные достоинства, прежде всего систематичность подбора теорем и корректность их формулировок. Наряду с главами, посвященными элементарной алгебре, тригонометрии и аналитической геометрии, она содержала также главы по дифференциальному и интегральному исчислению, причём формальная сторона интегрального исчисления — в соответствии, по-видимому, с личными вкусами автора — была непропорционально подробно изложена и доведена до весьма сложных формул. Харди писал: «...Рамануджан сделал эту книгу знаменитой, и нет никакого сомнения в том, что она глубоко повлияла на него и явилась отправным пунктом его карьеры. Такая книга должна была иметь некоторые достоинства; и действительно, книга Карра... является не просто третьесортным учебником, а представляет собой книгу, написанную со знанием дела и с любовью к предмету...». Несколькими строками ниже Харди дал следующую заключительную оценку книги Карра: «В целом, если рассматривать её как пособие для мальчика с таким дарованием, книга Карра совсем не плоха, и восприятие Рамануджаном материала было изумительным». В составленном Харди в 1921 г. некрологе цитируется следующая выдержка из письма одного школьного товарища Рамануджана: «Он (Рамануджан) брал книгу Карра из библиотеки колледжа и с удовольствием выводил содержащиеся в ней формулы... Уже тогда он рассказывал товарищам о своих математических открытиях... Он обладал исключительной памятью и с лёгкостью цитировал полный список санскритских корней (atmanepada и parasmepada); он знал громадное число знаков в разложениях числа пи и других чисел в десятичные дроби...».

Шестой класс был последним классом средней школы. В 16 лет Рамануджан по окончании школы выдержал приёмные испытания в Мадрасский университет и в январе 1904 г. приступил к занятиям на первом курсе Кумбаконамского колледжа, входившего в состав Мадрасского университета. За свои первые успехи он получил специальную стипендию, предназначавшуюся для особо успевающих по английскому языку и математике. Однако вскоре его учебные дела в колледже пошли всё хуже и хуже, так как он отдавал всё время собственным математическим исследованиям, результаты которых он регулярно заносил в свои, ставшие впоследствии знаменитыми, записные книжки (они были полностью изданы в Индии в фоторепродукции только в 1957 г.). Он перестал выполнять задания, пропускал много занятий и в конце концов был оставлен на первом курсе. В жизни Рамануджана началась полоса неудач, длившаяся почти 10 лет. В течение 1905 г. он бродил по центральной Индии, затем вернулся в Кумбаконам, пытался продолжить учёбу в колледже, но не был допущен к занятиям, уехал в Мадрас, поступил там в 1906 г. в университет, но заболел и вновь вернулся домой в Кумбаконам. В 1907 г. он сделал попытку сдать экзамены за первые два курса университета экстерном, но провалился. После этого до 1909 г. он не имел определённых занятий, если не считать того, что всё это время Рамануджан неустанно занимался математикой, исписывая всё новые и новые страницы своих записных книжек. В 1909 г. Рамануджан женился и начал поиски работы. В 1910 г. он обратился по поводу своего устройства к индийскому математику Рамасвами Айару, основателю Индийского математического общества. Рамасвами Айар, просмотрев записные книжки Рамануджана, убедился в том, что имеет дело с человеком необычных способностей, хотя всей силы таланта Рамануджана он никак не подозревал. Он направил Рамануджана к Сешу Айару, который тогда был преподавателем Кумбаконамского колледжа и знал Рамануджана ещё как студента. Сешу Айар устроил Рамануджана на временную работу, но через несколько месяцев Рамануджан вновь остался без работы. Наконец, в декабре 1910 г. Рамануджану немного улыбнулось счастье: он был представлен влиятельному сановнику Ра- мачандра Рао, который сыграл важную роль в жизни Рамануджана. Однако улучшение положения Рамануджана заставило себя ждать ещё три года, когда Рамануджану был, наконец, подсказан самый важный шаг в его жизни: письмо к Харди в Кембридж:.

В 1911 г. в «Журнале Индийского математического общества» появились в печати первые задачи Рамануджана, сообщённые Сешу Ай- аром. Первая собственная статья Рамануджана появилась несколько позже в том же году. К 1912 г. установилась репутация Рамануджана как математика, во всяком случае на его родине. О нём знали уже некоторые работавшие в Индии англичане, в частности профессор Ма- драсского высшего технического училища Гриффите и директор Ма- драсского почтового ведомства сэр Фрэнсис Спринг. Однако при рассмотрении этого периода жизни Рамануджана всё же создаётся впечатление, что окружавшие его люди при всём хорошем отношении к нему по-прежнему не имели представления о правильной подготовке Рамануджана к научной работе в области математики и считали, что для него сделано всё, на что он имел право рассчитывать. К началу 1913 г. близкие к Рамануджану индийские математики настойчиво рекомендовали ему вынести свои результаты из записных книжек на более компетентный и строгий суд: послать их в центр математической мысли Британской империи — Кембриджский университет.

До начала XX века Кембриджский университет не принадлежал к числу крупнейших мировых математических центров. Но в начале XX века молодые математики Харди и Литлвуд подняли уровень математических исследований и математического образования в Кембридже. Благодаря своей энергии и исключительной научной продуктивности, Харди уже в молодые годы стал известным учёным, возглавившим крупную математическую школу. Харди был всего на 9 лет старше Ра- мануджана, но он имел возможность приобщиться ко всей тысячелетней мировой математической культуре, тогда как Рамануджан имел в своём распоряжении только пару старых элементарных учебников и могучий математический гений. Своё первое письмо к Харди Рамануджан написал 16 января 1913 г. «Прилагаемые материалы» поразили Харди. По поводу этого первого и дальнейших писем Рамануджана Харди заметил: «...письма очевидным образом написаны не самим Рамануджаном, а по его просьбе каким-нибудь местным грамотеем, но — что самое важное — математические формулы в них несомненно принадлежали Рамануджану, и только ему одному». От реакции Харди на первое письмо Рамануджана зависела вся дальнейшая судьба последнего. Поэтому приведём свидетельство самого Харди о том впечатлении, которое произвели на него первые письма Рамануджана. Харди выделяет в качестве наиболее представительных для раннего творчества Рамануджана 15 результатов из примерно 120, содержавшихся в письмах.

«Попытайтесь представить себе, — пишет Харди, — первую реакцию математика-профессионала, получившего такое письмо от неизвестного индийского клерка. Сначала я спросил себя, нет ли среди этих формул знакомых мне результатов. Я сам доказывал нечто аналогичное формуле (7), и формула (8) имела более или менее знакомый вид. Фактически формула (8) оказалась классической; она встречается у Лапласа, но впервые её доказал Якоби; формула (9) также уже известна из работы Роджерса 1907 г. Далее я подумал, что как эксперт в интегральном исчислении смогу без труда доказать такие формулы, как (5) и (6), и действительно доказал их, но с гораздо большим трудом, чем ожидал. Вообще интегральные формулы оказались всё же наименее импонирующими. Я нашёл формулы (1)—(4), содержащие ряды, значительно более интригующими, и вскоре мне стало ясно, что в распоряжении Рамануджана должны были быть какие-то очень общие теоремы, которые он от меня скрывает. Формула (2) известна из теории полиномов Лежандра и принадлежит Бауэру, но остальные три гораздо глубже, чем они выглядят. Теоремы, нужные для их доказательства, сейчас уже известны; они содержатся в книге Бэйли о гипергеометрических функциях. Формулы (10)—(13) представляют собой результаты совершенно другого класса, и сразу видно, что они трудны и чрезвычайно глубоки. Специалист в теории эллиптических функций сразу обнаружит, что формула (13) должна как-то выводиться при помощи «комплексного умножения», но формулы (10)—(12) поставили меня полностью в тупик; я никогда не видел ничего подобного. Достаточно бросить на них один взгляд, чтобы убедиться в том, что они могли быть написаны только математиком самого высшего класса. Они должны быть верными, так как если бы они были неверны, то ни у кого не хватило бы воображения их изобрести1. Наконец, я решил для себя (надо помнить, что я в то время ничего не знал о Рамануджане и должен был учитывать все возможности), что автор этого письма является абсолютно честным человеком, так как великие математики встречаются всё же чаще, чем жулики или лжеучёные, обладающие такой математической изобретательностью». Теоретико-числовые утверждения (14) и (15) Рамануджа- на оказались неверными. По их поводу Харди писал: «Последние две формулы занимают особое место, потому что они неверны; они показывают пределы интуиции Рамануджана, но это не мешает им быть ещё одним свидетельством его исключительной силы2. Функция в формуле (14) является приближённым значением коэффициента, но совсем не столь точным, как это представлял себе Рамануджан; однако это ошибочное утверждение Рамануджана оказалось одним из самых плодотворных его утверждений, так как оно привело нас в конце концов к нашей совместной работе над проблемой «partitio numerorum». Формула (15), наконец, хотя и не содержит фактической ошибки, понималась Рамануджаном неверно3. Интеграл является не лучшей аппроксимацией, чем более простая функция K^x / ln(x). В другом месте о формуле (15) Харди писал: «Главный член дроби (K^x / ln(x)) был впервые получен Эдмундом Ландау в 1908 г. Рамануджан не располагал тем мощнейшим аппаратом, который применялся Ландау. Рамануджан никогда не видел ни одной французской или немецкой книги, его знания английского языка была столь незначительны, что он не смог даже сдать элементарного экзамена. Достаточно удивительным является уже то, что он вообще мог ставить такие задачи, для решения которых потребовались усилия лучших математиков Европы в течение столетия, и которые по сей день не получили полного разрешения».

В результате этой переписки Харди предпринял энергичные шаги по обеспечению Рамануджана стипендией и пригласил его приехать в Кембридж:. Приглашение было передано Рамануджану через секретаря организации индийских студентов в Лондоне, но, хотя все финансовые вопросы благополучно разрешались, Рамануджан категорически отказался покинуть Индию; основную роль здесь сыграли кастовые предрассудки; особенно противилась поездке Рамануджана в Европу его мать. Оставалось только хлопотать о стипендии Рамануджану в самой Индии. Наряду с представлением Харди, к ректору Мадрасского университета по этому вопросу обратился также генеральный директор индийских обсерваторий Дж. Т. Уокер, который в своём ходатайстве, между прочим, писал: «...Имею честь обратить Ваше внимание на С. Рамануджана, клерка Мадрасского управления почт. Я с ним не знаком, но вчера мне в присутствии сэра Фрэнсиса Спринга показали его работы. Как мне сообщили, ему 22 года. Его работы произвели на меня сильное впечатление — они вполне сравнимы с работами членов Кембриджского университета... Я совершенно убеждён в том, что университет поступит разумно, если предоставит С. Рамануджану возможность заниматься математикой, не заботясь о заработке, хотя бы в течение нескольких лет...». В результате Мадрасский университет с 1 мая 1913 г. предоставил Рамануджану специальную стипендию в 75 рупий в месяц сроком на 2 года. Как отметил Харди, с этого дня Рамануджан стал математиком- профессионалом .

Вопрос о необходимости поездки Рамануджана в Кембридж: широко и упорно дебатировался в кругах мадрасской интеллигенции, так что его мать, наконец, сдалась. Однажды утром она заявила, что во сне богиня приказала ей не противиться более отъезду сына и что она видела его сидящим в кругу европейцев в большом зале. Рамануджан получил от университета стипендию в 250 фунтов стерлингов в год на 2 года, оплату проезда в Англию и обратно, дорожные расходы и пр. Выделив из своей стипендии 60 рупий в месяц для матери, Рамануджан отбыл в Кембридж: 17 марта 1914 г. В апреле он уже был зачислен в колледж: Св.Троицы, где стипендия была увеличена ещё на 60 фунтов стерлингов.

Первые месяцы пребывания Рамануджана в Кембридже были посвящены восполнению основных пробелов в его математических знаниях. Харди, Литлвуд и другие кембриджские математики были изумлены как глубиной его знаний в одних вопросах, так и его полной неосведомлённостью в других. Вспоминая начало кембриджской карьеры Рамануджана, Харди писал: «Перед нами был человек, который мог оперировать с модулярными уравнениями и теоремами комплексного умножения неслыханно высоких порядков, чьё мастерство в области непрерывных дробей, во всяком случае с формальной стороны, было непревзойдённым, человек, самостоятельно открывший функциональное уравнение дзета-функции и главные члены асимптотики многих важнейших теоретико-числовых функций; в то же время он ничего не слышал о двояко-периодических функциях, не знал о существовании теоремы Коши и, вообще, имел только самое слабое представление о том, что такое функция комплексного переменного. Его понимание сущности математического доказательства было более чем туманным; он пришёл ко всем своим результатам, как ранним, так и более поздним, как верным, так и неверным, при помощи странной смеси интуитивных догадок, индуктивных соображений и логических рассуждений...». Предлагать такому человеку приступить к систематическому изучению основ математики было невозможно, но в одинаковой мере было невозможно, по выражению Харди, «дать ему шагать по жизни, думая, что все корни дзета-функции вещественны». В конце концов обучение Рамануджана пошло по пути собеседований и семинаров, где знания Рамануджана быстро пополнялись в процессе обсуждения нерешённых проблем и творческой работы. Через некоторое время Рамануджан прилично знал теорию функций и аналитическую теорию чисел. «Правда, он уже не стал, — говорит Харди, — математиком новой школы, о чём, быть может, и не стоит сожалеть, но он научился понимать, когда теорема доказана и когда она не доказана, а поток его оригинальных математических идей продолжал изливаться без малейших признаков истощения».

Война, разразившаяся осенью 1914 г., помешала продолжению образования Рамануджана. Литлвуд, который вместе с Харди вёл основную работу с Рамануджаном, был мобилизован, а, как сказал Харди, одного учителя для такого ученика было мало. Научная жизнь в Кембридже замерла, нарушились между народные связи. Только на втором этаже внутреннего корпуса колледжа Св.Троицы, на стене которого висела под стеклом старая надпись «Посетителей просят не шуметь, так как это мешает занятиям достопочтенного сэра Исаака Ньютона», в квартире Харди продолжались еже дневные занятия с Рамануджаном. Рамануджан упорно занимался математикой и только одной математикой. Он не проявлял ни малейшего интереса ни к каким другим областям, кроме как к анализу и теории чисел, ни тем более к другим точным наукам, политике, философии, литературе, спорту, которыми интересовался Харди. С камина в кабинете Харди на этих двух математиков безмолвно смотрели портреты Маркса, Эйнштейна и Хоббса (знаменитого английского игрока в крикет). В тех редких случаях, когда Харди удавалось вызвать Рамануджана на разговор на нематематические темы, Харди находил в нём довольно интересного собеседника. Про эти немногие минуты Харди писал: «...я хочу совершенно определённо заявить, что когда Рамануджан жил в Кембридже в хороших условиях и был здоров, он, несмотря на некоторые свои странности, был таким же нормальным и разумным человеком, как все другие кембриджские ученые, собиравшиеся за ужином в профессорской столовой. Не следует воздевать руки к небу и восклицать: «перед нами что-то непонятное, какое-то олицетворение извечной мудрости Востока!». Я не верю в извечную мудрость Востока, картина, которую я хочу нарисовать перед Вами, — это портрет человека, который имел свои особенности, как все выдающиеся люди, но в обществе которого Вы могли получить интеллектуальное удовольствие, с которым Вы могли за чашкой чая беседовать о политике или математике, короче, портрет не восточного чуда или одухотворённого идиота, а портрет умного человека, который, кроме того, был ещё великим математиком».

Весной 1917 г. Рамануджан заболел и должен был лечь в Кембриджский госпиталь, где его регулярно посещали Харди и другие кембриджские математики. Большую часть остального времени пребывания в Англии ему пришлось провести в больницах Лондона, куда он был вскоре переведён. Сначала его болезнь не вызывала особых опасений, но постепенно сырой английский климат, условия военного и послевоенного времени, а также недоверие Рамануджана к английским врачам и настойчивое соблюдение им неподходящей диеты окончательно подорвали его здоровье. Он имел от рождения слабые лёгкие, и его болезнь перешла в открытую форму туберкулёза. Рамануджану очень хотелось вернуться домой, в Индию, но отъезд задерживался в течение двух лет в связи с его болезненным состоянием и трудностями морского сообщения (воздушного сообщения, конечно, ещё не существовало). Хотя в это время Рамануджан уже не мог так интенсивно заниматься математикой, как в первые три года его пребывания в Англии, он продолжал работать в больницах и санаториях.

После длительного отдыха осенью 1918 г. в одном из санаториев Уэльса на юго-западном побережье Англии его здоровье, как казалось, несколько улучшилось, и он с новой энергией взялся за работу. 26 ноября 1918 г. он был избран в члены Английского Королевского общества (Английская академия наук) и одновременно профессором Кембриджского университета. Он был первым индийцем, удостоенным этих почестей. В начале 1919 г. здоровье Рамануджана настолько поправилось, что лучшие медицинские силы Англии считали его вне опасности, и он решил хотя бы на время вернуться в Мадрас, университет которого также приглашал его на работу. По-видимому, это была роковая ошибка, так как возможно, что оставаясь в Европе, он бы окончательно излечился. Но желание увидеться с родными и посетить родину после долгой разлуки взяло верх. Распрощавшись с Харди и своими кембриджскими друзьями, он в январе 1919 г. отправился в Индию.

После отъезда Рамануджана Харди с нетерпением ждал от него вестей. Однако Рамануджан молчал в течение почти целого года. Наконец, в начале 1920 г. в Кембридж пришло последнее письмо Рамануджана: Я очень прошу меня извинить, что до сих пор не написал Вам ни одного письма... Я недавно открыл очень интересные функции, которые я называю «симулирующими» («mock») тета-функциями. В отличие от «псевдо»--функций (которые частично изучались проф. Роджерсом в его интересной работе), они входят в математику так же красиво, как обычные функции. Посылаю вам с этим письмом несколько примеров...».

26 апреля 1920 г. Рамануджан умер в Чэтпуте — одном из предместий Мадраса. К исполнению своих обязанностей профессора Мадрасского университета он фактически так и не приступил.

Харди предпринял специальное исследование доступной Рамануджану в Индии математической литературы и оценку вероятности знакомства с ней Рамануджана. При этом Харди пришёл к заключению, что в отношении теоретико-числовых проблем Рамануджану был доступен только старый учебник Мэтьюза (Мathews, Theory of Numbers, 1892), имевшийся в Мадрасской библиотеке, но что Рамануджан его не видел. Если открытия Рамануджана в области математического анализа в какой-то незначительной мере базировались на упомянутой уже книге Карра, причём он проник в глубины анализа несоизмеримо дальше того уровня, на котором Карр излагал свой далеко не тривиальный материал, то в чрезвычайно сложной области аналитической теории чисел Рамануджан, по весьма аргументированному мнению Харди, не располагал вообще никакими пособиями. Рамануджан воссоздал эту обширную область математики, построенную европейскими учёными в течение столетий, совершенно самостоятельно — достижение, единственное в своём роде в истории математики. При этом надо учесть, что, хотя Рамануджан и сформулировал несколько ошибочных теоретико-числовых теорем (из-за незнания некоторых очень тонких аналитических фактов, в частности того факта, что дзета-функция Римана имеет комплексные корни), он в то же время получил теоретико-числовые результаты, остававшиеся неизвестными европейским математикам XVIII и XIX веков! По поводу приоритета открытий Рамануджана Харди пишет в своих лекциях о Рамануджане: «Он никогда не ссылался на книги, но он никогда и не выдавал стандартные теоремы, о которых он узнал из книг, за свои. Он считал, например, что расширил аналитическую теорию чисел в разных направлениях, и он действительно сделал это, но он не претендовал на изобретение эллиптических интегралов, тэта-функций или модулярных уравнений. Все эти вещи он рассматривал просто как известные всем математикам. Его собственные знания, как в отношении их объёма, так и в отношении их ограничений, были достаточно замечательными...».

Величие Рамануджана как математика и значимость его работ были оценены Харди и Литлвудом вскоре после его смерти. В исторической перспективе, которой мы располагаем теперь, оценка Харди и Литлвуда остаётся в полной силе. Харди писал: «Его проникновение в алгебраические формулы, преобразования бесконечных рядов и т.п. было просто поразительным. Я не знаю никого, кто мог бы в этом сравниться с ним, разве только Эйлер или Якоби. Он использовал, в значительно большей степени, чем современные математики, индуктивные и наводящие соображения; отправляющиеся от численных примеров; все его теоремы о сравнениях для р(п) были, в частности, получены таким образом. Хорошая память, терпение и виртуозность вычислителя сочетались в нём с силой обобщения, чувством формы и способностью мгновенной адаптации гипотез, которые производили исключительно сильное впечатление, и ставили его в области его собственных исследований выше всех современных ему математиков».

Через год после смерти Рамануджана Харди писал: «Можно расходиться во мнениях относительно значимости работ Рамануджана, критериев, с которыми следует подходить к нему как математику, и влияния, которое он окажет на развитие математики. Его работы не обладают той простотой и неизбежностью, которые характеризуют труды самых великих математиков; его результаты были бы значительней, если бы они не были столь необычными. Они отличаются, однако, одной неоспоримой чертой — глубокой и неуязвимой оригинальностью. Он стал бы наверно более крупным математиком, если был бы обуздан в молодости. Он открыл бы, вероятно, больше новых фактов, и притом большей значимости. С другой стороны, он был бы тогда в меньшей степени Рамануджаном и в большей степени европейским профессором, и трудно сказать, явилось бы это приобретением или потерей...». Последние строки были написаны Харди явно под влиянием свежей утраты друга, яркая личность которого ещё стояла перед его глазами. Через 16 лет после того, как эти строки были написаны, Харди вновь вернулся к оценке Рамануджана уже с несколько более уравновешенных позиций и, процитировав приведённые выше свои высказывания, писал: «Всё, что я тогда сказал, я и сейчас готов повторить, за исключением лишь последней фразы, которая звучит как смешной сентиментализм. Наука ничего не выиграла от того, что Кумбаконамский колледж: отверг единственного большого учёного», которого он имел, и потеря была неизмеримой. Судьба Рамануджана — худший известный мне пример вреда, который может быть причинен малоэффективной и негибкой системой образования. Требовалось так мало, всего 60 фунтов стерлингов в год на протяжении 5 лет и эпизодического общения с людьми, имеющими настоящие знания и немного воображения, а мир получил бы ещё одного из величайших своих математиков...»


Теперь перейдем к математике Рамануджана. В своем первом письме Рамануджан сформулировал теорему из элементарной теории чисел. Сколько среди первых 100 натуральных чисел таких, которые являются степенями числа 2 ? Их всего 7. В первой тысяче их будет 10. Сколько степеней числа 2 среди первых n натуральных чисел ?
2^k ≤ n
k * lg(2) ≤ lg(n)

k ≤

lg n lg 2

Для n=100 имеем:

k =

lg 100 lg 2

=

2 0,30103

+ 1

= [6,6] + 1 = 6 + 1 = 7

Аналогично для степеней числа 3. Рамануджан поставил перед собой чуть более трудный вопрос: сколько среди первых п натуральных чисел имеется таких, которые являются произведениями степени числа 2 на степень числа 3, т.е. чисел, имеющих вид 2^k • З^l c неотрицательными показателями к и l ?
Если посчитать вручную, то среди первых 100 чисел их окажется 20. В лоб найти аналогичную формулу весьма непросто. Рамануджан нашел ее приближенное значение:

lg 2n * lg 3n 2 * lg 2 * lg 3

Доказать ее довольно непросто. Для n=100 эта формула дает 19.75.
Следующий код показывает, что эта формула подсчета p(n) чрезвычайно точна для больших n, причем отклонение меньше единицы как в ту, так и в другую сторону:

Код

 
 
 import math
 
 n = 100
 c = 1
 while True:
     x2=0
     x3=0
     count = 0 
     while True:
       x3 = 0 
       xx2 = 2**x2
       if xx2 > n:
 	break
       while True:
 	xx3 = 3**x3
 	y = xx2 * xx3
 	if y > n:
 	  break
 	count += 1
 	x3 += 1
       
       x2 += 1 
       
     z = (math.log10(2*n)  * math.log10(3*n)) / (2 * math.log10(2)  * math.log10(3))
 
     print c, count, z
     
     n *= 10
     c +=1
     if c > 1000:
       break
 
 

Код

 
 import math
 from decimal import *
 getcontext().prec = 1000
 
 def get_radikal(n, s):
     return n * Decimal.sqrt(Decimal(s)+1)
   
   
 x = 1000
 count = x 
 sum = get_radikal(count, count + 1)
 while True:
     sum = get_radikal(count, sum)
     count -= 1
     if count == 0 :
       break
       
 print sum
 
 

В.И.Левин - Рамануджан.

Г.Харди - 12 лекций о Рамануджане.

Bruce C. Berndt - Ramanujan's Notebooks.

Ramanujan's Lost Notebook Part 1.

Ramanujan's Lost Notebook Part 2.

Ramanujan's Lost Notebook Part 3.

Ramanujan's Lost Notebook Part 4.

Гипергеометрические ряды.

G.H.Hardy - Collected papers.