Если посмотреть на таблицу простых чисел, то может появиться мысль, что среди них много простых пар-близнецов.
Но никто не знает, насколько их много. Гипотеза о бесконечном количестве близнецов до сих пор не доказана.
Возникает другой вопрос: как много соседних простых чисел, расстояние между которыми равно 4 или 6 ?
Ответа также никто не знает. Благодаря доказательству Yitang Zhang, James Maynard и других,
на сегодняшний день известно, что существует бесконечно много соседних пар простых чисел,
расстояние между которыми равно или больше 246.
На конец 2014 годв самой большой известной парой простых чисел-близнецов является пара
3756801695685 · 2666669 ± 1
Оно состоит более чем из 200000 цифр.
Пусть нам дан диапазон чисел от 1 до X. Обозначим через k разницу между соседними простыми числами.
Обозначим число пар соседних простых чисел в этом диапазоне с этой разницей через
Gapk(X)
Например, Gap2(10)=2 - это две пары (3,5) и (5,7). В следующей таблице показан пример такого распределения
На следующей гистограмме показана зависимость Gap от k для X < 10000000.
Видно, что наиболее часто встречающиеся пары соседних простых чисел находятся на расстоянии = 6.
И обратите внимание на периодичность гистограммы:
Возникает вопрос: при возрастании X - какая из функций будет расти быстрее - Gap 2, Gap 4, Gap 6 или Gap 8 ?
В теории чисел есть понятие мультипликативного четного числа и соответственно мультипликативного не-четного числа.
Мультипликативное четное число - это число, которое можно представить в виде произведения четного числа делителей,
например, 6=2*3, 9=3*3, 10=2*5 и т.д.
Мультипликативное нечетное число - это число, которое можно представить в виде произведения нечетного числа делителей,
например, 12=2*2*3.
Например, в следующем списке жирным шрифтом выделены мультипликативные нечетные числа:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Возникает вопрос - каких чисел больше ?
На следующих графиках представлена одна и та же функция, но в разных масштабах.
Она равна разнице между числом мультипликативных четных чисел минус мультипликативных нечетных в зависимости от X.
Опять же обратите внимание на периодичность:
На последний вопрос ответ известен - мультипликативных нечетных чисел больше, чем мультипликативных четных чисел,
и график это подверждает.
Классическую формулу количества простых чисел в диапазоне от 1 до X открыл Гаусс еще в конце 18-го века - оно равно отношению
X к натуральному логарифму от X. В основании натурального логарифма, как известно, лежит знаменитая константа,
найденная Эйлером:
e = 2.71828182 .
которая равна пределу последовательности:
На следующем рисунке(13) приведены три графика:
Верхний - это Li(X) - логарифмический интеграл - или площадь, которая находится с помощью интеграла
Нижний синий график - это формула Гаусса - отношение X к натуральному логарифму X.
И средний красный график - это реальное количество простых чисел - или π(X).
Для X=1024 имеем
Теперь можно сформулировать первую самую упрощенную версию гипотезы Римана:
Для любого числа X число простых чисел, меньших, чем X,
может быть выражено достаточно точно с помощью логарифмического интеграла Li(X).
Или, как еще говорят, с хорошей, или квадратичной апроксимацией от X.
На следующем рисунке показаны 3 графика:
Верхний - это
Средний синий - это разница
Li(X) - π(X)
Литлвуд в 1914 году доказал, что существует такое X, для которого Li(X) - π(X) может достичь нуля и быть в минусе.
Это число X лежит в диапазоне от 1014 до 10317. Доказано, что у верхней границы
π(X) больше, чем Li(X).
Глядя на рисунок 13, становится ясно, что в пределе все три функции стремятся к бесконечности.
Возникает вопрос - сохраняется ли между ними пропорциональность ?
Если имеются две функции - A(X) и B(X), то говорят, что они обе стремятся к бесконечности с одинаковой скоростью, если
A(X) / B(X) стремится к 1
Отношение этих функций должно быть больше некой константы c и одновременно меньше некой другой константы C.
В качестве примера можно привести два полинома:
A(X) = 2X2 + 3X - 5
B(X) = 3X2 - 2X + 1
для которых скорость (rate) возрастания примерно одинаковая:
Одинаковый рейт имеют две других функции - Li(X) и X /log(X).
Мы уже видели, что в диапазоне 1024 функции Li(X) и π(X) имеют совпадающие старшие разряды - 18,435,599,767,3 . . ..
Гипотеза Римана говорит, что разница между Li(X) и π(X) сравнительно мала по сравнению с самим X.
Теорема о простых числах утверждает, что Li(X) и π(X) растут с одинаковой скоростью при X -> к бесконечности.
Или, что то же самое, X/log(X) и π(X) растут с одинаковой скоростью при X -> к бесконечности.
Это было доказано в 1896 году Адамаром и Пуссеном.
Еще раньше это показал Чебышев.
Свою знаменитую гипотезу Риман высказал в 1859 году.
Это гипотеза не доказана до сих пор.
Как известно, звук распространяется со скоростью 768 миль в час.
Если извлечь какую-то одну устойчивую чистую ноту, то закон ее распространения будет выглядеть как-то так:
Чем громче будет звук, тем будут выше пики у этой синусоиды.
Чем выше будет звук, тем меньше будет период на графике.
Если на одном инструменте извлечь две ноты - до и ми например - и сделать это одновременно, то картина будет такая:
Если эти же две ноты извлечь не одновременно, а последовательно во времени, то картина будет такая:
В математике есть целый раздел - анализ Фурье - который исследует подобные процессы.
Он анализирует некую функцию f(t), которую можно разложить на сумму элементарных тригонометрических функций:
a1cos(θ1t) + a2cos(θ2t) + a3cos(θ3t) + ...
Здесь θ1(тэта) , θ2, θ3, ... - реальные числа, называемые спектрумом.
Эти простые тригонометрические функции имеют периодичность соответственно
2π / θ1, 2π / θ2, 2π / θ3, ...
Музыкальный тон может быть выражен функцией
f(t) = a*cos(b+θt)
θ определяет частоту, и чем эта тэта больше, тем выше звук.
Коэффициент a - амплитуда звука или громкость.
Когда звук не чистый и складывается из нескольких тонов, имеем другую функцию:
f(t) = a1 * cos(b1 + θ1t) + a2 * cos(b2 + θ2t) + ...
Например, f(t) = 5 cos (−t − 2) + 2 cos (t/2 + 1) + 3 cos (2t + 4) выражается графиком:
В последнем случае спектр складывается из трех частот θ1, θ2, θ3.
Как анализ Фурье может быт использован для понимания того, как устроено распределение простых чисел?
Имеет ли распределение простых чисел свой собственный спектр ?
Если этот спектр существует, можно ли его вычислить явно ?
Какую роль играет такой спектр в распределение простых чисел ?
Гипотеза Римана лежит в области подобного рода вопросов.
Дадим общее определение функции: это такой черный ящик, на вход которого поступают одни числовые параметры,
а на выходе получают другие числовые параметры.
Например, на следующем рисунке исходная функция отмечена синим цветом, а производная к исходной - красным.
Производная функция есть ни что иное, как функция угла наклона касательной к исходной функции:
Это был пример непрерывной функции. Для дискретной функции типа этой:
уравнение может быть таким:
График дискретной функции и производной к ней может выглядеть так
или так
Там, где функция постоянна, производная естественно равна нулю.
Площадь под красным графом, в соответствии с основным свойством производной, равна
f(a) - f(b)
Чем меньше будет расстояние в данном случае между a и b, тем выше и тоньше будет пик производной.
На стыке дискретных и производных функций в 20-м веке была разработана теория т.н. обобщенных функций - generalized functions.
Этот красный пик имеет еще другое название - δ-функция Дирака - по имени известного физика.
Обычные - или интегрируемые - функции отличаются от обобщенных функций двумя признаками:
1. Они для любого реального числа имеют значение
2. Они имеют площади для любой пары значений, и эта площадь равна интегралу от этой функции:
Обобщенные функции могут не иметь каких-то значений и соответственно для них не определены площади.
Обобщенные функции (distribution) обозначаются как D(t). Обобщенная функция определяется для какого-то интервала [a, b].
Для них выполняется свойство аддитивности:
Для такого интервала мы можем завать последовательность
и тогда
Функция дирака может быть проиллюстрирована с помощью функции c(t):
Дискретная функция Дирака - δ-функция - или δ3-функция - может принимать значение либо 0, либо 1.
Есть еще одна функция Дирака - δx-функция - существует для реальных x значений.
Интеграл
равен c(x).
Рассмотрим дискретную функцию
которая равна 0 для отрицательных t, равна 1 для 0 < t < 1, и 3 для 1 < t < 2.
Производная для нее равна δ0 + 2δ1.
Рассмотрим четную функцию f(t) - под четной функцией мы понимаем функцию, которая симметрична относительно оси y:
Нам нужна отрицательная область определения, поскольку множество простых чисел существует только в положительной половине.
Мы определяем как
π(−t) = π(t)
Идея заключается в том, чтобы выразить функцию распределения простых чисел через преобразования Фурье
в виде представления через тригонометрические функции. Или, если у функции f(t) есть спектр, выразить ее
через интеграл.
Мы берем θ из спектра f(t) и вычисляем cos(θt). Сколько косинусов при этом прийдется вычислить ?
На входе у нас f(t):
Если интеграл для f(t) существует и он конечен, то:
Аналогично
Мы будем рассматривать две разновидности бесконечных тригонометрических сумм:
1. Первая функция - F(t), представленные в виде косинусов от логарифмов степеней простых чисел:
Графики таких функций будут иметь характерные пики, которые будут соответствовать реальным числам, все выше и выше в зависимости от того,
как мы будем увеличивать количество тригонометрических сумм в разложении,
которые будут концентрироваться в районе Римановского спектра.
2. Вторая функция - H(t) - представлена в виде простых косинусов:
будет иметь пики, соответствующие логарифмам степеней простых чисел, которые на графиках ниже представлены синими линиями.
Красные линии определяют спектр Римановской гипотезы.
Ниже дана тригонометрическая интерпретация для нескольких чисел:
В общем виде такую сумму можно представить в виде
При pn < C = 5 график имеет вид
При pn < C = 500 график имеет вид
Возвращаясь к простым числам, задача, котрая перед нами стоит - понять закон распределения простых чисел:
Еще одной разновидностью обобщенных функций является следующая функция:
Ее можно представить как конечный сумму дельта-функции Дирака:
Преобразование Фурье для dx(t) - это cos(xθ), поэтому
Если например C=3, то p=2, p=3:
и соответственно ее синий график, а также серый для производной:
Нас интересует спектр значений θ, который является пиковыми значениями, на горизонтальной прямой
им соответствуют красные точки, в них производная равна нулю.
При возрастании C до 10, 100, 200, 500 картина следующая:
Локальные θ-пики имеют следующие значения:
θ1 = 14.134725 . . .
θ1 = 21.022039 . . .
θ1 = 25.010857 . . .
θ1 = 30.424876 . . .
θ1 = 32.935061 . . .
θ1 = 37.586178 . . .
В знаменитой статье Римана от 1859 года эти точки обьявляются нетривиальными нулями его дзета-функции.
Этот ряд ничем не ограничен и может быть апроксимирован уравнением
На сегодняшний день вычислены триллионы значений этого ряда, и не найдено никаких закономерностей в его распределении.
Значения ряда можно посмотреть здесь
Гистограмма разности θi+1 - θi для первых 100000 значений ряда:
Вернемся к тригонометрическим функциям, которые построены на этом ряду:
Приведем эту функцию к логарифмической шкале:
Если вычислить ее для первых 15000 значений ряда, то мы обнаружим на графике
два близнеца - 1019 и 1021, а также 210:
В статье 1859 года Риман выводит аналитическую формулу для распределения простых чисел.
Он отталкивается от формулы Гаусса
Риман в качестве аргумента берет комплексные числа X = a + bi
Он дает определение:
Здесь μ(n) - функция Мёбиуса, являющаяся функцией от делителей, ее график:
Функция Римана дает еще лучшую апроксимацию, чем все предыдущие, которые мы ранее рассматривали -
на графике ниже функция Римана обозначена синим цветом:
Ряд апроксимирующих функций Римана включает
R0(X), R1(X), R2(X), ...
где каждая последующая получается из предыдущей путем добавления т.н. гармоники
R1(X) = R0(X) + С2(X)
где
Ck(X) = -R(X1/2 + iθk) -R(X1/2 - iθk)
где θ1, θ2 ... - константы из ряда выше.
Так выглядит R1:
И так выглядит R25:
В 1740 Эйлер, вычисляя сумму ряда, состоящего из обратных квадратов натуральных чисел,
нашел свою знаменитую дзета-функцию, которая для целых четных значений , в свою очередь, является функцией от пи.
В 1845 году Чебышев, используя дзета-функцию Эйлера, доказал, что отношение числа простых чисел
к числу ( X / log(X)) заключено между двумя константами и при X -> к бесконечности это отношение стремится к единице.
Дзета-функция Эйлера
справедлива для реальных S.
Риман расширил дзета-функцию Эйлера на комплексную область определения -
и эта функция называется дзета-функцией Римана.
Эта функция для отрицательных четных чисел -2, -4, -6, ... определяет т.н. тривиальные нули Римановской дзета-функции.
Дзета-функция Римана показывает распределение степеней простых чисел на числовой прямой.
Берется их логарифм, при этом S > 1 :
Затем берем производную:
где
Дзета-функция имеет бесконечно много нетривиальных нулей в диапазоне от 0 до 1.
Следующий вариант гипотезы Римана звучит так:
Все нетривиальные нули дзета-функции ζ(s) лежат на вертикальной линии в плоскости комплексных
чисел, и эта линия состоит из чисел с вещественной частью, равной 1/2.
Эти нули представляют собой не что иное, как 1/2 ± i*θ1,1/2 ± i*θ2, 1/2 ± i*θ3, ...
где - Θ1, θ2, θ3,. - римановский спектр простых чисел, о которых мы говорили выше.