blog.iakovlev.org
  05.06.2017

Теренс Тао

Те́ренс Чи Шен Тао (кит. ) (род. 17 июля 1975, Аделаида) — австралийский и американский математик, работающий в основном в области гармонического анализа, дифференциальных уравнений в частных производных, комбинаторики, теории чисел и теории представлений. Наиболее известной его работой является доказательство (совместно с британским математиком Беном Грином) существования неограниченно длинных арифметических прогрессий простых чисел (теорема Грина — Тао). Сейчас Тао работает профессором математики в Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе. Подробнее можно почитать в Википедии.
Тао ведет блог, где рассматривает самые разные разделы современной математики, занимаясь активной популяризаторской работой. В этой статье рассматриваются некоторые из статей его блога, имеющие отношение к теории чисел.


Статья Open question: The parity problem in sieve theory является введением в sieve theory - раздел теории чисел, рссматривающий различные наборы целых чисел, в том числе простых. Теория включает в себя:
1. общеизвестное сито Эратосфена для получения простых чисел в заданном диапазоне
2. сито Лежандра для оценки верхней или нижней границы числа простых чисел в заданном диапазоне: если диапазон обозначим через X, μ - функция мебиуча, простые числа - p1, p2, p3, тогда


3. сито Бруна для вычисления размера наборов чисел, отвечающих определенным условиям. Бруно в начале 20 века доказал знаменитую теорему о сходимости ряда величин, обратных т.н. простым числам-близнецам.
4. сито Сельберга
и другие.
Проблема четности - parity problem - которая рассматривается в этой статье, звучит так: на данный момент в общем случае теория неспособна отличить числа, имеющие нечетное число делителей, от чисел, имеющих четное число делителей.
Как было известно еще Гауссу, число простых чисел в диапазоне 1...N равно
N / log N
Верхняя граница для числа простых чисел в диапазоне N ... 2N равна
N / log log N
Число пар близнецов в диапазоне N ... 2N равно
N (log log N / log N)2



Статья The Lucas-Lehmer test for Mersenne primes популярно обьясняет, какие алгоритмы лежат в основ теста простоты для чисел Мерсенна. На википедии также есть хорошая статья.
Числа Мерсенна - это простые числа получаемые по формуле
2p - 1
где p - простое число.
Благодаря этому тесту самыми большими известными простыми числами почти всегда были простые числа Мерсенна, причём даже до появления компьютеров; именно он лежит в основе проекта распределённых вычислений GIMPS, занимающегося поиском новых простых чисел Мерсенна.
Тест основан на следующем критерии простоты:
число Мерсенна является простым тогда и только тогда, когда оно делит без остатка p-1-й член следующей последовательности:
4, 14, 194, 37634б ...
где каждый последующий член получается из предыдущего по формуле:
Sk = S2k-1
Возможными значениями S1 являются: 4, 10, 52, 724, 970, 10084, ...
Следующий код проверяет на простоту числа Мерсенна:
Код





Статья The AKS primality test рассказывает об алгоритме, проверяющем числа на простоту. Подробнее можно почитать в википедии.
Это универсальный, полиномиальный, детерминированный и безусловный тест простоты чисел, основанный на обобщении малой теоремы Ферма на многочлены.
В основе этого алгоритма лежит малая теорема Ферма, которая гласит, что если p - простое число, a - любое число, то

Сама по себе малая теорема Ферма не годится для теста чисел на простоту, поскольку она не различает простые числа от псевдо-простых, т.н. чисел Кармайкла. Существует полиномиальная версия теоремы Ферма:

Для уменьшения время вычислений применяется другая версия последней формулы

где r достаточно мало и лежит в пределах log(n).
Основная теорема AKS-теста: если выполняется последняя формула, и a взаимно простое с n, тогда n - либо простое число, либо степень простого числа. На практике тест AKS может быть использован для тестирования небольших чисел, с увеличением разрядности проверяемого числа использование памяти резко возрастает и тест становится практически непригоден.



Статья On the number of solutions to 4/p = 1/n_1 + 1/n_2 + 1/n_3 рассматривает решения Диофантового уравнения

для натуральных n, x,y,z.
pdf-версию статьи можно посмотреть тут
Если через f(n) обозначить число решений, то получим ряд:
f(1)=0, f(2)=3, f(3)=12, f(4)=10, f(5)=12, f(6)=39, f(7)=36, f(8)=46, ...
Гипотеза Erdős-Straus утверждает, что f(n) > 0 для любого n. Она проверена для всех n < 1014
В этой статье Тао выводит верхнюю и нижнюю границу f(n).
Были различные варианты решения этого вопроса, в частности, верхняя граница оценивалась как
N * exp(-c*log2/3N)
где c>0 и N достаточно велико.
Рассматриваются два варианта:
1. n делится на x, в то же время y и z взаимно просты с n - f1
1. n делится на y и z, , в то же время x взаимно простое с n - f2
Вместо n берется простое p. При этом
f(p) = 3*f1(p) + 3*f2(p)
Для нижней границы выводится теорема:

Для верхней границы:






Чжан Итан (Zhāng Yìtáng; род. 1955) — американский математик китайского происхождения, работающий в области теории чисел - в 2013 году отправил в журнал Annals of Mathematics статью, в которой доказывалось, что существует бесконечно много пар последовательных простых чисел с разностью не более 70 миллионов.
В блоге Теренса Тао в том же году появилась статья The prime tuples conjecture, sieve theory, and the work of Goldston-Pintz-Yildirim, Motohashi-Pintz, and Zhang
Теренс Тао вскоре доказал, что граница может быть уменьшена до 4 982 086. Впоследствии он предложил проекту Polymath совместными усилиями оптимизировать границу.
В ноябре 2013 года 27-летний британский математик Джэймс Мэйнард применил алгоритм, разработанный в 2005 году математиками Дэниелем Голдстоном, Яношом Пинтцем и Семом Йилдиримом, под названием GPY , и доказал, что существует бесконечно много соседних простых чисел, лежащих на расстоянии не более 600 друг от друга. В день выхода препринта работы Джеймса Мэйнарда Теренс Тао опубликовал в личном блоге пост с предложением запустить новый проект, polymath8b, Polymath8: Writing the paper и уже через неделю оценка была снижена до 576, а 6 января 2014 — до 270. Наилучший научно доказанный результат был достигнут в апреле 2014 года Пэйсом Нильсеном из университета Брайгама Янга в Юте — 246
Работу проекта Polymath Теренс Тао подробно коментировал на страницах своего блога:
Polymath8b, III: Numerical optimisation of the variational problem, and a search for new sieves
Polymath8b: Bounded intervals with many primes, after Maynard
Polymath8b, VIII: Time to start writing up the results?

Еще несколько интересных ссылок:
Elementary multiplicative number theory
The Hardy-Littlewood circle method and Vinogradov’s theorem
Сhains of large gaps between primes
Biases between consecutive primes

 Автор   Комментарий к данному блогу
Комментарий

Ваше имя:
Комментарий:
Оба поля являются обязательными