02.01.2016
Чебышев
Биография
Пафну́тий Льво́вич Чебышев (1821 — 1894) — русский математик и механик,
основоположник петербургской математической школы (его фамилию - по его же собственному указанию — следует произносить как Чебышо́в).
Чебышев — величайший, наряду с Н. И. Лобачевским, русский математик XIX века.
Он получил фундаментальные результаты в теории чисел (распределение простых чисел) и теории вероятностей ,
построил общую теорию ортогональных многочленов,
теорию равномерных приближений и многие другие. Основал математическую теорию синтеза механизмов и разработал ряд практически
важных концепций механизмов.
Пафнутий Львович родился в 1821 г. и был в семье старшим из братьев.
Его младший брат, Владимир Львович, генерал артиллерии, был ученым-артиллеристом,
заслуженным профессором Артиллерийской академии, основателем и первым редактором «Оружейного сборника»,
основоположником патронного и ружейного дела в России, а также основоположником учения о свойствах поверхности.
Он первым в 1874 г., исследуя процесс цилиндрических фрез, установил главнейшие причины, вызывающие микро-неровностина
обработанной поверхности. Сделанные им выводы нашли практическое применение на Тульском заводе
и использованы в теоретических работах этого периода.
Из братьев Владимир Львович был ближе всех Пафнутию Львовичу. Он же стал свидетелем последних дней его жизни.
При материальной поддержке В. Л. Чебышевав в 1899—1907 гг. вышло первое двухтомное собрание сочинений П. Л. Чебышева.
Братья Чебышевы были богаты, так как получили в наследство от родителей большие и доходные имения: Петр и Владимир в Орловской губернии,
Пафнутий — в Калужской. Пафнутий Львович имел немалый доход по должности академика и профессора, а также от публикации своих
научных трудов. Располагая сравнительно большими деньгами, Пафнутий Львович часть их употреблял на покупку земель.
Этой операцией занимался его управляющий, выгодно перепродававший скупленные, по преимуществу пустопорожние или плохо обработанные земли.
Делал это Чебышев не из соображений собственной наживы. Дело было в том, что сестры его получили значительно меньшее наследство,
чем он сам и его братья. И будучи одним из старших в роде Чебышевых, он считал своим долгом увеличить их долю за счет подаренных им земель.
Грамоте Чебышев выучился у своей матери, а французскому языку и арифметике — у двоюродной сестры.
Вспоминая детство, Чебышев, по свидетельству Д. И. Менделеева, рассказывал, что своим развитием обязан бывшей у него учительнице музыки,
которая музыке-то его не научила, а ум ребенка приучила к точности и анализу.
10 лет от роду Чебышев со своим дядей совершил первую длительную поездку на Кавказ,побывал в Железноводске, Пятигорске и других местах
Он имел с детства одну ногу немного сведенной, хромал и ходил с палкой.
Первый учитель Чебышева по математике — инспектор гимназии П. Н. Погорельский — отличался суровым обхождением
с учениками и пристрастием к карательным мерам.
Платон Николаевич Погорельский в начале 30-х годов считался одним из лучших и наиболее известных учителей Москвы.
Погорельского как магистра Московского университета пригласили в качестве учителя математики и физики для старших сыновей,
которых как раз привезли в Москву.
Свою славу выдающегося педагога Погорельский умножил изданием руководств по математике.
Не найдя в современной ему учебно-математической литературе, как переводной, так и оригинальной, учебника,
соответствующего его взглядам и педагогическим требованиям, он перевел с французского в начале 30-х годов
«Курс чистой математики».
И не случайно, что ученики этой гимназии почти до конца XIX в. выказывали какое-то особенное тяготение к математике:
их успехи по этому предмету были выше, чем по другим, и большая часть окончивших курс избирала себе для дальнейшего образования
математический факультет.
По его учебникам Чебышев обучался элементарной математике, так как в то время они были самыми популярными и переиздавались
почти через 2—3 года. Эти учебники удачно соединяли полноту содержания с ясностью и сжатостью изложения.
Об Алгебре Погорельского Чебышев, между прочим, говорил, что это самая лучшая из всех книг на русском языке, потому что она
самая краткая.
Еще одним учителем Чебышева был А. Т. Тарасенков.
Как превосходный латинист Тарасенков был известен московской публике, в том числе и родителям Чебышева, которые пригласили его
в качестве домашнего учителя своих старших сыновей.
30-е годы 19 века были годами, когда классицизм в системе обучения достиг своего наибольшего могущества.
Древним языкам отводилось и в гимназиях и в университетах одно из первых мест.
Московский университет
В 1837 году, когда Чебышеву минуло 16 лет, он подал ректору Московского университета прошение о поступлении на
философский факультет.
Чебышеву предстояло сдать вступительные экзамены по следующим предметам: закону божьему, священной и церковной истории,
российской грамматике, словесности и логике, языкам — латинскому, немецкому и французскому, математике, физике, географии,
истории и статистике.
Поступавший должен был знать:
1) арифметику в объеме учебника Беллавеня—Погорельского или Буссе, уметь решать задачи по арифметическому задачнику Буссе
или арифметическим листкам Гурьева;
2) алгебру до уравнений 2-й степени по учебнику Беллавеня—Погорельского, а начиная с уравнений 2-й степени —
по руководству Перевощикова; уметь решать задачи по алгебраическому задачнику Ритта;
3) геометрию, тригонометрию, аналитическую геометрию, космографию, физику.
Экзамены Чебышев сдал успешно и в сентябре 1837 г. был зачислен студентом 2-го отделения философского факультета.
Чебышев в точности исполнял все требования, указанные в табеле. Он аккуратно посещал занятия, на протяжении четырех лет
студенческой жизни имел отличные успехи, как об этом говорят отчеты университета за 1837—1841 гг., и был отличного поведения.
В 1840/41-м учебном году на основании 103-й статьи университетского устава во 2-м отделении философского факультета
была предложена тема на медаль: «О числовом решении алгебраических уравнений высших степеней».
За сочинение на эту тему золотая медаль присуждена была действительному студенту Антону Смоляку, серебряные —
кандидату из дворян Пафнутию Чебышеву.
Чебышев окончил Московский университет в 1841 г. «отличнейшим из студентов» математического отделения философского факультета,
о чем было сообщено министру народного просвещения.
К моменту поступления Чебышева на 2-е отделение философского факультета Московского университета объем преподавания математики
в нем был значительно расширен. В 1836/37-м учебном году читались следующие математические дисциплины:
1) аналитическая геометрия,
2) высшая алгебра,
3) дифференциальное и интегральное исчисление,
4) интегрирование дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными),
5) вариационное исчисление
6) исчисление конечных разностей.
По курсам они распределялись так: 1-й — аналитическая геометрия и высшая алгебра (по 3 часа в неделю);
2-й и 3-й — дифференциальное и интегральное исчисление (по 3 часа);
4-й — интегрирование дифференциальных уравнений с частными производными,
вариационное исчисление и исчисление конечных разностей (по 1 часу).
В 1841 г. Россию постиг голод. Дела семей многих студентов, в том числе и Чебышева, пошатнулись.
Родители его вынуждены были переехать на жительство в деревню и не могли теперь материально обеспечить сына.
Чтобы не терпеть нужды, молодому Чебышеву, только что вышедшему из университета, оставалось либо поступить на службу и забросить
любимые занятия, либо идти на лишения. Чебышев выбрал последнее и стал усиленно готовиться к магистерским экзаменам.
19 марта 1843 г. Чебышев подал в Совет университета прошение о допущении его к испытаниям на степень магистра математических наук.
2-е отделение философского факультета на заседании 29 апреля того же года под председательством декана Д. М. Перевощикова
обсудило отношение ректора Университета от 23 марта о допущении кандидата Чебышева к испытаниям на степень магистра.
Это испытание производилось в следующем порядке:
«Из определенного числа написанных и хранимых в тайне вопросов, относящихся особенно до каждой науки,выбираются по жребию два вопроса
для магистра и четыре для доктора, кои они должны решить основательно и подробно.
Засим следует производить словесное испытание в других предметах, назначенных экзаменатором.
Потом они должны решить письменно такое же число и так же по жребию выбранных вопросов в присутствии члена отделения».
Для письменного решения профессором Брашманом был предложен вопрос: «Определение закона о движении тела по циклоиде,
когда, кроме тяжести, действуют еще какие-нибудь возмущающие силы».
За свой ответ Чебышев получил от профессора Брашмана отметку «весьма удовлетворительно».
Для письменного решения профессор Зернов предложил вопрос: «Множитель, вспомоществующий нахождениюи нтеграла уравнения
дифференциального: случаи, в коих можем находить оный и главные его свойства».
В своем ответе Чебышев показал, что: 1) всякое дифференциальное уравнение первого порядка и первой степени, имеющее интеграл,
приводится к полному дифференциалу через умножение на некоторую функцию, которая и известна под названием множителя
вспомогательного; 2) в таком случае существует бесчисленное множество интегрирующих множителей;
3)интегрирующий множитель определяется в общем случае уравнением с частными производными, интегрирование которого
представляет задачу более трудную, чем интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений.
После успешного окончания письменных испытаний Чебышеву было предложено написать сочинение на тему «О бесконечно малых качаниях».
Однако вместо него Чебышев в качестве диссертации в 1845 г. представил сочинение на тему
«Опыт элементарного анализа теории вероятностей».
Чебышев выполнил работу с присущим ему талантом. Он показал, что все вопросы относительно повторения событий
и определения вероятности средних результатов можно решить с помощью одной алгебры и привлечения дополнительно лишь простейших
сведений из теории рядов. До этой работы Чебышева элементарные курсы теории вероятностей ограничивались только более или менее
подробным изложением результатов, полученных посредством высшего анализа.
Чебышев показал, что можно «поверить все эти заключения анализом строгим и простым, доступным для большей части учащихся».
Это было большим достижением в способе элементарного изложения теории вероятностей, что, бесспорно, и ставилось
в заслугу Чебышеву его официальными оппонентами. Согласно протоколу, эти последние высказали свои возражения диссертанту,
но Чебышев их разрешил весьма удовлетворительно, и математическое отделение признало его достойным искомой степени магистра.
Петербургский университет
В 1847 году Чебышев переезжает в Петербург и становится преподавателем на философском факультете Петербургского университета,
Примерно в то же время туда переезжает и академик Буняковский, который был официальным оппонентом при защите Чебышевым
диссертации на право чтения лекций "Об интегрировании с помощью логарифмов". В этой диссертации Чебышев защищал следующие пункты:
I. В теории интегрирования иррациональных дифференциалов первое место принадлежит дифференциалам, которые заключают
рациональным образом квадратный корень рациональной функции.
II. Если эти дифференциалы не интегрируются безп омощи логарифмов, то при современном состоянии анализа нет общего способа
для их интегрирования.
III. Этот способ необходим для усовершенствования теории абелевых функций.
IV. Он требует решения такого вопроса: найти целые числа, которые, будучи умножены на данные количества (иррациональные и мнимые),
дают в сумме нуль, если это возможно; в противном случае обнаружить невозможность этого.
V. При современном состоянии теории чисел мы можем решать этот вопрос только в некоторых частных случаях.
VI. Когда же решен этот вопрос о числах, то интегрирование приводится к определению функций с помощью неопределенных уравнений.
VII. Решение этих уравнений по способу неопределенных коэффициентов представляет большие затруднения.
VIII. Они решаются с помощью непрерывных дробей.
IX. Отношение интегралов, которыми Якоби определяет указатели обратных абелевых функций и подобных им,
может иметь иррациональную и действительную величину».
Защита Чебышевым приведенных положений состоялась 8 мая 1847 г.
2-е отделение философского факультета признало исследование Чебышева «Об интегрировании с помощью логарифмов» вполне заслуживающим
внимания математиков «по трудности излагаемого в нем предмета и по тонким аналитическим соображениям,
собственно принадлежащим его автору».
Успешная защита Чебышевым названного исследования дала возможность декану 2-го отделения философского факультета Ленцу
выступить в Совете университета с предложением поручить магистру Чебышеву чтение высшей алгебры на 2-м курсе и теории чисел на 4-м курсе.
С этим предложением, поддержанным Советом университета, согласился и попечитель Петербургского учебного округа, но уже после того,
как последовало утверждение министром народного просвещения Чебышева в звании доцента.
В своем представлении декану 2-го отделения философского факультета Буняковский с похвалою отзывался как о лекциях, так и о записках
и особенно подчеркивал «необычайную ловкость» Чебышева в аналитических приемах,
ясность и последовательность в изложении, стройный систематический порядок, в котором новый преподаватель умел расположить,
по-видимому, весьма разнородные предметы исследования теории чисел и некоторые новые, упрощенные доказательства.
Буняковский обращал также внимание руководителей 2-го отделения на то обстоятельство, что «теория чисел, чуть ли не труднейшая
часть чистого анализа», не была еще раньше «приведена никем в удовлетворительную систему» и что «первые попытки молодого ученого
в этом деле» следует считать весьма удачными.
Таким образом, с первых же шагов преподавательской деятельности Чебышев проявил себя как замечательный лектор и выдающийся молодой ученый,
имя которого стало известно в Петербурге и за границей по статьям, помещенным в журналах Лиувилля и Крелле.
Известности молодого Чебышева в математическом мире много способствовали и его связь с Академией наук и участие в изучении рукописей Эйлера по теории чисел.
В 1844 г. академик П. Н. Фусс, правнук Л. Эйлера, обнаружил в Архиве Академии наук некоторые посмертные рукописные сочинения
своего гениального прадеда. Из этих сочинений были выделены мемуары по теории чисел.
В них особенно сильно проявилась присущая Эйлеру проницательность, тонкость ума и дар угадывания, позволившие ему преодолевать
те трудности, которые были не под силу большей части математиков его времени.
Их было решено опубликовать.
Изучение арифметических рукописей Эйлера физико-математическое отделение поручило Буняковскому, который пригласил сотрудником Чебышева.
Вместе они составили подробный систематический указатель к многочисленным мемуарам Эйлера по теории чисел,
который позднее был напечатан в 1-м томе «Lеопагdi Еu1еri соmmепtationes агithmetiсае со11есtае» (СПб., 1849).
Все это в значительной мере содействовало тому, что в ноябре месяце 1847 г. Чебышев был избран адъюнктом Университета
и получил наравне с другими профессорами 5 лекций в неделю, что чрезвычайно упрочило его материальное положение.
В следующем 48/49-м учебном году, кроме высшей алгебры и теории чисел, Чебышеву было поручено чтение сферической тригонометрии,
аналитической геометрии и интегрального исчисления. С особенным интересом преподавал Чебышев в том году теорию чисел.
Необходимость излагать ее перед аудиторией значительно стимулировала его к самостоятельным изысканиям по теории чисел,
и в ноябре 1848 г. он подал в Совет университета прошение о принятии его сочинения под заглавием «Теория сравнений»
в качестве диссертации на степень доктора.
Публичная защита докторской диссертации Чебышева состоялась в мае 1849, после чего было обьявлено,
что Чебышев достоин ученой степени доктора математики и астрономии.
Появление в 1849 г. «Теории сравнений» Чебышева было большим событием для русской математической науки и учебно-математической литературы.
Учитывая высокие научные и методические достоинства этого сочинения, отечественная Академия наук присудила Чебышеву половинную
демидовскую награду.
В 1850 году Чебышев избирается в экстраординарные профессоры Петербургского университета.
В 1860 г. Чебышев был избран ординарным профессором.
Расширению известности Чебышева способствовали также его заграничные поездки, во время которых он сумел войти в личные контакты
с Сильвестром, Лиувиллем, Дирихле, Эрмитом, Коши и другими выдающимися иностранными математиками.
Став в 1860 г. ординарным профессором, Чебышев взял на себя чтение интегрального исчисления, теориии чисел, теории вероятностей
с исчислением конечных разностей и вел эти предметы до самого ухода из университета в 1882 г.
По теории чисел он излагал основные сведения о сравнениях первой и высшей степеней, подробно останавливался на теоремах Ферма,
Эйлера и Вильсона и их приложениях к решению сравнений первой степени,
на символе Лежандра, затем переходил к сравнениям двучленным и заканчивал свой курс разбором свойств квадратичных форм.
Оценивая университетскую деятельность Чебышева,нельзя забывать о той исключительной роли, которую он сыграл в истории развития
отечественной математики как основоположник и вдохновитель знаменитой петербургской математической школы.
Созданию этой школы во многом способствовали качества Чебышева-профессора.
По свидетельству его учеников — А. М. Ляпунова и К. А. Поссе, Чебышев щедро делился своими идеями не только с избранными,
но и с широкой аудиторией.
Научная школа, созданная Чебышевым, представляла исключительный по силе научный коллектив и отличалась особым направлением.
«П. Л. Чебышев и его последователи, — писал А. М. Ляпунов — остаются постоянно на реальной почве, руководясь взглядом,
что только те изыскания имеют цену, которые вызываются приложениями (научными или практическими) и только те теории
действительно полезны, которые вытекают из рассмотрения частных случаев. Детальная разработка вопросов, особенно важных с точки зрения
приложений и в то же время представляющих особенные теоретические трудности, требующие изобретения новых методов и восхождения
к принципам науки, затем обобщение полученных выводов и создание этим путем более или менее общей теории — таково направление
большинства работ П. Л. Чебышева и ученых, усвоивших его взгляды».
Чебышев и его ближайшие ученики (А. М. Ляпунов,А. А. Марков и др.) были творцами и продолжателями классического направления в математике.
Наиболее яркими выразителями этого направления до Чебышева были Эйлер, Лагранж, Лаплас и Абель.
Их труды отличались тем, что имели специфически алгебраический характер. Эти же черты отличают труды и самого Чебышева и
его ближайших учеников. Они мало интересовались углублением основ анализа и уточнением математических методов,
которые характеризовали вторую половину XIX в. на Западе.
Нельзя не отметить преемственности в работах русских ученых по теории чисел. Эти работы, не прерываясь, идут от Чебышева до наших дней.
Они наряду с работами русских и советских математиков по теории вероятностей и конструктивной теории функций указывают на то большое
значение, какое приобрела в истории математики школа, созданная Чебышевым.
В областях теории чисел, теории вероятностей и теории приближенного представления функций наши математики занимают ведущее
положение.
Чебышеву принадлежит свыше 80 научных работ.
Научные труды Чебышева могут быть объединены в следующие категории:
1) по теории чисел,
2) по теории вероятностей,
3) по интерполированию,
4) по теории наилучшего приближения функций,
5) по интегральному исчислению,
6) по картографии, баллистике и астрономиии
7) по теории механизмов.
В начале своего научного пути Чебышев обратил на себя внимание всего мира математиков двумя сочинениями по теории чисел:
«Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины» (1849) и «О простых числах» (1850).
В этих работах при помощи весьма остроумных и элементарных рассуждений Чебышев получил замечательные результаты о
распределении простых чисел.
В статье «Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины», Чебышев исследует свойства функции
числа простых чисел, не превосходящих х. Он уточняет асимптотическую формулу, данную некогда Лежандром, и в связи с этим
изменяет выражения, которые получались из нее.
О простых числах
В этой работе Чебышев доказал постулат Бертрана,
сформулированный в качестве гипотезы в 1845 году французским математиком (который проверил её до n=3000000) :
между целыми числами n и 2n—2, где n > 3, всегда найдется простое число.
Логика рассуждений Чебышева следующая: если мы хотим обнаружить хотя бы одно простое число на интервале от n до 2n,
можно поступить следующим образом:
1. Придумать какую-нибудь функцию y=f(x), которая не меняла бы своего значения, пока x пробегает отрезок между соседними
простыми числами, и принимала бы большее значение при переходе через простое число
2. Доказать неравенства относительно функции f(x), которые могли бы достаточно точно оценить скорость ее роста.
Для такой функции разность f(2n) - f(n) будет положительным числом в том случае, если функция f возросла
при переходе от n к 2n, т.е. если между n и 2n есть хотя бы одно простое число.
На момент написания Чебышевым этой статьи такая функция уже была определена.
Функция распределения простых чисел обозначается как π(x) и равна числу простых чисел, которые меньше, чем x.
Так, например π(1000000) = 78498.
Если бы мы могли доказать, что
π(2x) - π(x) > 0
тем самым мы доказали бы постулат Бертрана. Но дать точные оценки для π(x) затруднительно.
Чебышев предложил использовать другую функцию, которая при переходе через простое число возрастает не на единицу, как π(x),
а более ощутимо. Он определил т.н. тэта-функцию , которая равна сумме логарифмов всех простых чисел, не превышающих x,
или что то же самое - логарифму произведения всех простых чисел, не превышающих x:
θ(x) = log2 + log3 + log5 + log7 + log11 + ...
Тогда постулат бертрана будет равен следующему неравенству:
θ(2x) - θ(x) > 0
Для доказательства Чебышеву понадобилась еще одна функция - обозначим ее как T(x), которая была известна еще со времен Эйлера
- логарифм произведения всех целых чисел, не превышающих x:
T(x) = log2 + log3 + log4 + log5 + log6 + ...
Далее Чебышев показал, что эти две функции - θ(x) и T(x) - связаны тождеством:
T(x) = θ(x) + θ(x)1⁄2 + θ(x)1⁄3 + θ(x)1⁄4 + ... +
θ(x⁄2) + θ(x⁄2)1⁄2 + θ(x⁄2)1⁄3 + θ(x⁄2)1⁄4 + ... +
θ(x⁄3) + θ(x⁄3)1⁄2 + θ(x⁄3)1⁄3 + θ(x⁄3)1⁄4 + ... +
θ(x⁄4) + θ(x⁄4)1⁄2 + θ(x⁄4)1⁄3 + θ(x⁄4)1⁄4 + ... +
..........................................................................
Еще одна функция, которая является логарифмом наименьшего общего кратного (НОК) для всех целых чисел,
не превосходящих x:
φ(x) = a2log2 + a3log3 + a5log5 + ...
Между φ(x) и T(x) существует зависимость:
T(x) = φ(x) + φ(x⁄2) + φ(x⁄3) + φ(x⁄4) + φ(x⁄5) + ...
Между φ(x) и θ(x) существует зависимость:
φ(x) = θ(x) + θ(x)1⁄2 + θ(x)1⁄3 + θ(x)1⁄4 + ...
Также
Чебышев получает неравенство вида:
Ax + υ1(x) < θ(x) < 6⁄5 A(x) + υ2(x)
где A - некоторая постоянная, а дополнительные члены υ1(x) и υ2(x) при больших x значительно меньше x.
В частности, Чебышев выводит, что сумма логарифмов всех простых чисел, не превышающих x, содержится в пределах:
Этого уже достаточно, чтобы при x, бОльших некоторого x0, доказать неравенство
θ(2x) - θ(x) > 0
Для понимания того, как Чебышев доказал постулат Бертрана, требуется лишь умение проводить преобразования
с алгебраическими выражениями и неравенствами. Предварительно нужно знать несколько важных понятий арифметики -
каноническое разложение натурального числа и показатель простого числа в каноническом разложении.
Если в разложении натурального числа n на простые сомножители записать произведение одинаковых простых сомножителей
p в виде pα, то получится каноническое разложение числа n:
n = p1α1...psαs
где все простые p1 , ... , ps различны. Например,
360 = 23 * 32 * 5
Пусть дано некоторое натуральное число x. Возьмем произведение всех натуральных чисел,
не превосходящих этого числа x, т.е. факториал от x. У этого факториала есть каноническое разложение.
Пусть в это каноническое разложение входит простое число p. Нужно определить показатель, с которым число p входит
в это каноническое разложение. В факториале
x! = 1*2*3*...*x
показатель числа p зависит только от тех сомножителей, которые делятся на p.
Этот показатель равен
νp(x) = [x ⁄ p] + νp(x ⁄ p)
Квадратные скобки здесь означают целую часть или модуль.
В свою очередь νp(x ⁄ p) равен:
νp(x ⁄ p) = [x ⁄ p2] + νp(x ⁄ p2)
и т.д. Слагаемые вида x ⁄ pk будут добавляться до тех пор, пока x > pk.
Например, число 5 входит в разложение 1000! в степени 249:
[1000/5] + [1000/25] + [1000/125] + [1000/625] = 249
Т.е. число 1000! заканчивается на 249 нулей.
Для этого показателя в случае с факториалом справедлива формула Лежандра:
Каноническое разложение факториала можно записать в виде:
Если взять ряд натуральных чисел 1,2,3,...,n и вычислить его наименьшее общее кратное НОК, затем у этого НОК взять
каноническое разложение, в которое будет входить простое число p, то :
Обозначим через A(x) наименьшее общее кратное - НОК - всех натуральных чисел, не превосходящих x:
A(x) = НОК(1,2,3,..., x)
Рассмотрим все натуральные числа, не превосходящих x ⁄ 2, т.е. возьмем половину от исходного числового отрезка.
Рассмотрим третий числовой отрезок, куда войдут все натуральные числа, не превосходящих x ⁄ 3.
И т.д., будем рассматривать все более мелкие числовые отрезки.
И рассмотрим произведение наименьших общих кратных - НОК - для всех этих отрезков:
A(x) * A(x / 2) * A(x / 3) * A(x / 4) * ... * A(x / x) (ф1)
Найдем в этом произведении показатель, с которым число p входит в это произведение.
ap(x) = [x ⁄ p] + [x ⁄ p2] + [x ⁄ p3] + ... = νp(x)
Т.е. каноническое разложение произведения (ф1) равно каноническому разложению факториала от x! - отсюда тождество Чебышева:
В оригинале у Чебышева это тождество логарифмируется - здесь же для понимания алгоритма доказательства мы логарифмы полностью опускаем.
Основная идея доказательства постулата Бертрана состоит в том, что достаточно проверить справедливость следующего неравенства (ф2):
Берем x > 2000. Заменив в тождестве Чебышева x на x / 2 и проведя преобразования, приходим к следующему:
A(x) при увеличении x не убывает. Из последней формулы получаем оценку:
Делаем подстановку. Пусть
[x ⁄ 2] = m
т.е.
m < [x ⁄ 2] = m + 1
Применяя неравенство
2k + 1 < 3k
получаем (формула(i)):
Аналогично вследствие неравенства
2k + 1 > 2k
получаем (формула(ii)):
Применяя формулу i, находим:
Отсюда следуют оценки:
Применяя последнюю оценку, из формулы ii находим:
Или - формула Ф3:
При x=2000 это неравенство выполняется, что можно проверить с помощью непосредственного вычисления.
При дальнейшем увеличении x на единицу левая часть увеличивается в 1.1 раза, а правая - менее чем в 1.05 раза,
так как
Поэтому неравенство Ф3 останется справедливым при всех x > 2000. При меньших его можно проверить с помощью таблиц простых чисел.
Некоторые дополнительные определения из теории чисел:
Биномиальный коэффициент - это число сочетаний из n по k, это всегда целое число:
Cвойство биномиального коэффициента - формула (3):
а также формула(4):
Лемма 1
K из формулы(4) делится на N из формулы(3)
Доказывать не будем, просто покажем в качестве примера:
n=33
K=1182266884102822267511361600
N=7219428434016265740
K ⁄ N=163761840
В качестве следствия получаем:
Лемма 2
При n > 2 получаем неравенство N > 2n+1
Это неравенство нам пригодится при оценке нижней границы π(x)
Действительно, для n=33
7219428434016265740 > 17179869184
Справедливо также более сильное неравенство:
Отсюда формула (1):
и формула (2):
Три т.н. функции Чебышева:
Из формулы (1) следует:
П.Л.Чебышев Избранные труды
|