18.12.2015
Пьер Ферма
Биография
Пьер Ферма́ (фр. Pierre de Fermat, 1601 — 1665) — французский математик, один из создателей аналитической геометрии,
математического анализа, теории вероятностей и теории чисел.
Дата рождения Ферма окутана тайной - это может быть как 1601, так и 1608 годы.Табличка на его могиле говорит, что он умер в возрасте 57 лет.
У него были один брат и две сестры. В детстве его образованием занимались монахи-францискианцы.
Первоначальное образование он получил дома в своем родном городе; последующая учеба, подготовка к магистерскому званию
протекали в Тулузе.
Он поступил в Тулузский университет, где хотел изучать право - в то время эта профессия была очень престижной и открывала многие двери.
Так как Ферма всю жизнь был скромным и сдержанным человеком, избегающим бесплодных диспутов,
то особенно мало известно из пережитого им в бытность студентом.
Что он должен был быть блестящим студентом, становится очевидным ввиду его достижений и образованности,
проявившихся в зрелые годы; без твердых основ взыскательного обучения никто не мог бы стать таким знатоком классического
наследия и литературы, каким стал Ферма. Удивительные его работы в теории чисел и в математике вообще не имеют отношения
к его официальной учебе: те области, в которых он сделал лучшие свои работы, не были еще открыты во времена его студенчества.
После окончания университета Ферма переехал в Бордо. Там он познакомился с Жаном Бограном, который принадлежал
к местному математическому обществу, это произошло примерно в 1626 году.
Богран позднее стал членом высших политических кругов Парижа, где был завсегдатаем кружка, которым руководил Мерсенн,
с которым постоянно делился открытиями, сделанными Ферма.
В начале 17 века стали формироваться сообщества математиков, которые непрерывно обменивались результатами своих работ.
Их участники предлагали друг другу задачи, находили решения, обьясняли новые методы, делились идеями.
Бордо был одним из центров, где бурлила научная жизнь.
В Бордо Ферма познакомился с Эспанье, Филоном, Праде. В беседах с ними он расширил свой кругозор и узнал о многих учениях.
Они познакомили его с работами Виета. В Бордо были изданы первые работы Ферма.
Именно там зародились многие его идеи, в частности идея переиздания книги Аполлония. Там же он открыл метод нахождения максимумов
и минимумов.
Из Бордо Ферма переехал в Орлеан, а оттуда вернулсяв Тулузу, где началась его блестящая карьера.
События его жизни, которые достойны упоминания:
назначение на должность уполномоченного по прошениям в Тулузе в возрасте 30 лет в 1631 г.;
женитьба 1 июня того же года на Луизе де Лонг (кузине его матери), подарившей ему трех сыновей и двух дочерей;
его выдвижение в 1648 г. королевским советником местного парламента в Тулузе — на пост,
который он занимал с честью и с большим умением и достоинством в течение 17 лет (вся его трудовая жизнь, длившаяся 34 года,
была отдана государственной службе).
Возможно, своим продвижением по службе он был обязан эпидемии, которая случилась в тех местах и унесла много жизней.
В 1653 году Ферма заболел сам, но выжил.
Ферма добросовестно исполнял свои обязанности и избегал интриг.
Служба была непростой, поскольку в то время Франция периодически испытывала серьезные потрясения.
Между католиками и гугенотами сохранялись напряженные отношения, не прекращалась борьба за власть.
То была эпоха кардинала Ришелье и кардинала Мазарини. Сложно было удерживаться между противоборствующими сторонами.
Ферма не стремился к власти и избегал Парижа.
Этот спокойный, уравновешенный, честный человек прожил жизнь, которая является одной из самых интересных в истории математики.
Принимая во внимание характер официальных обязанностей Ферма и большое число выполненных им блестящих работ по математике,
некоторые не могут понять, как он находил время дляв сего этого. Один его соотечественник, кажется, нашел решение вопроса:
служба Ферма как королевского советника скорее помогала его интеллектуальным занятиям, чем мешала им.
В отличие от других должностных лиц, например в армии, парламентские советники не были связаны с повседневными городскими делами
и включались в активную деятельность главным образом тогда, когда возникали подозрения во взятках или другие чрезвычайные
обстоятельства. Поэтому Ферма располагал достаточным досугом, хотя зачастую жаловался на недостаток времени.
Он писал в письме Мерсенну: Судебные тяжбы, которыми сейчас целиком забита моя голова, не позволяют мне спокойно
прочитать присланные вами труды. Но каждый раз, когда выпадала возможность, он находил время для математики.
Ферма - яркий пример того, как можно сочетать профессию и хобби на высочайшем уровне.
В этом смысле он был не одинок в то время - многие его коллеги также были математиками.
Его знания основных европейских языков и литератур континентальной Европы были обширными и точными,
а древнегреческая и латинская филология обязана ему несколькими важными поправками.
В сочинении латинских, французских и испанских стихов — распространенном светском занятии того времени —
он обнаруживал незаурядное мастерство и прекрасный вкус. Чтобы понять его спокойную, наполненную умственным трудом жизнь,
нужно представить себе приветливого человека, без мнительности, без нетерпимости к критике, без гордыни,
но с чувством собственного достоинства, которое Декарт — его противоположность во всех отношениях — характеризовал словами:
«Мсье де Ферма — гасконец, а я — нет». Упоминание о принадлежности к гасконцам, возможно, намекает на разновидность хвастливости.
Это качество исподволь проявляется в письмах Ферма, но оно всегда имеет довольно наивную и безобидную форму и совершенно не связано
с его мнением о собственных работах, даже когда он писал письма в момент наибольших творческих удач.
Что же касается Декарта, то нужно помнить, что он не был полностью беспристрастным судьей.
Эрудицию Ферма признавали многие из тех, кого он знал.
Подлинный энциклопедитс, не знавший границ между науками и языками, он интересовался многими областями знаний.
Одной из первых задач, решенных Ферма, была задача о циклоиде.
В 1599 году Галилей определил циклоиду как геометрическое место точек, которое описывает точка окружности при движении по прямой.
Ферма одним из первых точно определил площадь под аркой циклоиды, равную утроенной площади исходного круга.
Ферма стал известен широкому кругу благодаря работам по максимумам и минимумам.
В них он использовал методы, неизвестные математикам той эпохи.
Ферма отослал Мерсенну три текста: Методы нахождения максимумов и минимумов и построения касательных к кривым,
О плоских и телесных местах, и труд Аполлония Плоские места в двух книгах.
В первой работе Ферма указал. что в точке максимума функции прямая, касательная оси абсцисс, касается графика этой функции
только в одной точке. Ферма получил уравнение, равносильное равенству нулю от производной этой функции - и это в то время,
когда никто не имел понятия ни о производной, ни о пределе функции.
Работа Ферма "Методы нахождения максимумов и минимумов" оказалась едва ли не единственной, которая была опубликована при его жизни.
Все остальное наследие Ферма заключено в его письмах. Большинство его трудов было бы утеряно навсегда, если бы не его сын
Самуэль. В 1670 году он опубликовал "Арифметику" Диофанта в переводе Баше с комментариями отца.
Ферма внес вклад в создание бесчисленного множества теорий, которые зародились именно в ту плодотворную эпоху.
Для нахождения максимума и минимума он использовал выражение, подобное производной, и приравнял его к нулю.
Он применил алгебраические методы для решения геометрических задач до Декарта, что позволяет считать его отцом
аналитической геометрии. Он занимался решением задач из теории вероятностей и комбинаторики, что дает возможность
назвать его, наряду с Паскалем, создателем этих разделов математики. Ферма считается основателем современной теории чисел.
Он также занимался оптикой и механикой. И всего этого он достиг, работая судьей !
Геометрическим эквивалентом основной задачи дифференциального исчисления является построение прямой, касательной к данной
несамопересекающейся непрерывной кривой в произвольной ее точке.
Непрерывная кривая - значит «плавная, без разрывов и скачков».
Ферма руководствовался геометрической и физической (больше всего кинематической и динамической) интуицией в своих исследованиях.
Он вдумывался в то, что происходило в его воображении на графике «непрерывной кривой» при проведении
касательной к ней в любой ее точке Р, когда через две ее точки Р и Q проводилась прямая,
а затем точка Q начинала двигаться вдоль дуги кривой к точке Р до те пор, пока точка Q не сливалась с точкой Р,
т. е. когда секущая PQ в своем предельном положении становилась касательной к кривой вточке Р.
Следующий шаг состоял в том, чтобы перевести все это на алгебраический, аналитический язык.
Зная координаты х, у точки Р и координаты х + а, у + b точки Q (до того, как Q начинает дви-двигаться к Р),
обнаруживается, что наклон секущей PQ определяется отношением b / a -
очевидной мерой «крутизны» секущей относительно оси Ох.
Отсюда следовало, что искомый наклон касательной в точке Р (после того, как точка Q, скользя по кривой, совпала с Р)
определится предельным значением отношения b / a , когда и b и а одновременно стремятся к нулю.
Это предельное значение и давало искомый наклон. Зная его, можно теперь строить касательную в точке Р.
Одной из любимых областей математики была для Ферма теория чисел, которой он занялся, по-видимому, в середине 30-х годов 17 века
и которой посвящены наиболее вдохновенные строки его писем.
«Арифметика,—писал он,— имеет свою собственную область, теорию целых чисел, эта теория была лишь слегка затронута Евклидом
и не была достаточно разработана его последователями (если только она не содержалась в техкнигах Диофанта,
которых нас лишило разрушительное действие времени); арифметики, следовательно, должны ее развить или возобновить».
Результаты Ферма по теории чисел дошли до нас в разрозненном виде: некоторые содержатся в его письмах,
другие представляют его замечания к задачам Диофанта на полях принадлежавшего ему экземпляра «Арифметики».
В 1670 г., после смерти Ферма, его старший сын Самюэль выпустил новое издание Диофанта с комментариями Баше
и замечаниями Ферма, а позднее собрал сохранившиеся в бумагах отца математические наброски и небольшие трактаты
и издал их под названием «Разные математические сочинения» (Varia opera mathematica, Tolosae,1679).
Но и после этого были найдены многие письма и заметки Ферма, не вошедшие в это издание.
Теоретико-числовые результаты Ферма дошли до последующих математиков в виде проблем,
в подавляющем большинстве случаев без доказательств и указаний на внутренние связи между ними.
После смерти Ферма проблемы эти пролежали без движения около семидесяти лет, пока ими не заинтересовался Л. Эйлер.
С этого момента началась их новая жизнь. Исследования Эйлера превратили теорию чисел в неотъемлемую составную часть математики.
Занимаясь арифметикой целых чисел, Ферма обратил внимание на большую роль, которую играют простые числа.
По-видимому, он начал искать различные критерии для определения того, будет ли заданное число N простым или составным.
Он искал также выражения F(п), которые при любом целом значении n давали бы только простые числа.
Ферма полагал, что таким выражением будет
F(n) = 22n + 1
Действительно, при n = 0, 1, 2, 3, 4 F(n) принимает значения 3, 5, 17, 257, 65537, являющиеся простыми числами.
Однако, как показал Эйлер, F(5) = 232 + 1 не простое.
Что не существует целого многочлена Р(х) с целыми коэффициентами, все значения которого при целых х были бы простыми числами,
доказали Хр. Гольдбах и Эйлер.
Простые числа вида 22n + 1 называются теперь простыми числами Ферма.
До сих пор неизвестно, существует ли конечное число простых чисел Ферма или их бесконечно много.
Одним из критериев для определения простоты числа послужила так называемая малая теорема Ферма.
Ферма установил, что для каждого числа а, не делящегося на простое число р,
существует такое число f, являющееся делителем р — 1, что аf — 1 делится на р.
Он сформулировал это предложение сначала для а = 2, затем для любого а.
Малая теорема Ферма — одна из самых важных теорем элементарной теории чисел; здесь впервые мы сталкиваемся с частным
случаем важнейшего понятия современной алгебры — конечной циклической группой,образованной элементами
1, a, a2, ... , af-1
которые рассматриваются по модулю р (т. е. два элемента считаются равными, если при делении на р они дают один и тот же остаток).
В малой теореме на частном примере установлено одно из основных предложений теории конечных групп:
порядок любого элемента конечной группы является делителем порядка группы.
Ферма впервые поставил вопрос об определении вида простых чисел, представимых некоторой квадратичной формой.
Число n называется представимым формой
ax2 + 2bxy + cy2
если существуют такие целые, взаимно простые х1, у1, что
n = ax12 + 2bx1y1 + cy12
Ферма решил этот вопрос для форм
x2 + y2, x2 + 2y2, x2 - 2y2, x2 + 3y2 и x2 + xy + y2,
Так, он нашел, что формой x2 + y2 представимы те и только те простые числа,
которые лежат в прогрессии 4n + 1, причем каждое простое число этой прогрессии представимо в виде суммы двух квадратов
единственным образом, например
5 = 4*1 + 1 =12 + 22
Далее Ферма нашел, что формой x2 + 2y2 представимы все простые числа вида 8n + 1 и 8n + 3
и только они, а формой x2 + 3y2 и x2 + xy + y2
простые числа вида 6n + 1.
Ферма рассматривает распределение по прогрессиям только простых чисел, представимых некоторой формой.
Именно на этом пути были открыты в дальнейшем те глубокие закономерности, которые охарактеризованы с помощью квадратичного закона взаимности.
Вопрос о нахождении всех чисел, как простых, так и составных, представимых некоторой квадратичной формой,
Ферма поставил и решил только для случая формы x2 + y2
Для составных чисел уже не существует столь же простого закона, характеризующего представимые числа, как в случае простых чисел.
Баше де Мезириак впервые высказал предложение о представимости любого целого положительного числа суммой не более четырех целых квадратов,
в комментариях к его изданию «Арифметики» Диофанта 1621 г. В замечании, относящемся к этому месту, Ферма высказал более общую теорему,
согласно которой любое натуральное число есть либо n-угольное, либо сумма не более чем n n-угольных чисел,
причем утверждал, что располагает ее доказательством. В 1636 г. теорема стала известной в кругу французских математиков.
Доказательство свое Ферма не сообщил; он лишь упомянул в одном письме 1654 г. Паскалю, что вывод опирается на представимость простых
чисел вида 4n +1 суммой двух квадратов. Эта теорема Ферма для п = 4 была доказана во второй половине XVIII в. благодаря
совместным усилиям Эйлера и Лагранжа, для п = 3 — Гауссом (1801) и в общем случае — Коши (1813—1815).
Баше де Мезириаку и Ферма принадлежит заслуга постановки задачи о решении неопределенных уравнений в целых числах.
До них, следуя за Диофантом, европейские математики обычно искали рациональные решения таких уравнений.
Баше де Мезириак, не зная о своих индийских предшественниках, подробно разработал и изложил на числовых примерах способ решения
в целых положительных числах линейного уравнения с двумя неизвестными
ax - by = 1
где (а, Ь) = 1. Этот вопрос Баше изложил в замечательном сборнике «Приятных и занимательных задач, рассматриваемых в числах»
(РгоЬlemes plaisans et delectables qui se font par les nombres, Lyon, 1612), неоднократно переиздававшихся вплоть до наших дней
— в последний раз книга вышла в 1959 г.
Ферма исследовал гораздо более трудную задачу решения в целых положительных числах уравнения с двумя неизвестными второй степени.
В своем письме, получившем название «Второго вызова математикам» (февраль 1657), он предложил своим корреспондентам найти
общее правило решения уравнения
ax2 + 1 = y2
где а — целое неквадратное число. Такое уравнение рассматривали еще математики древней Греции и средневековой Индии.
Впоследствии Эйлер по ошибке связал его с именем английского алгебраиста Джона Пелля (1611—1685).
Теперь более принято называть это уравнение , отдавая долг справедливости, уравнением Ферма.
Проблема решения уравнения Ферма распадается на две: 1) найти наименьшее целочисленное решение х0, у0,
после чего, 2) зная наименьшее решение, найти все остальные.
В своем письме Ферма предлагал найти решения при а = 149, 109, 433. Эти значения выбраны так, что наименьшее решение
соответствующего уравнения Ферма очень велико и его нельзя найти простым подбором.
Вероятно, Ферма специально выбрал эти примеры, чтобы узнать, владеют ли его коллеги общим методом для решения первого из указанных
нами вопросов. Что касается самого Ферма, то не подлежит сомнению, что он имел общие формулы для решения второго из вышеназванных
вопросов. Для случая а = 2 он привел соответствующие формулы в письме к Френиклю.
По-видимому, он владел и методом нахождения наименьшего решения, однако в его бумагах никаких следов такого приема не осталось.
Ферма придавал уравнению очень большое значение, считая, что оно поясняет путь, по которому должна развиваться наука о числах.
Но его современники не поняли значения этого уравнения.
Впоследствии эффективное решение уравнения Ферма и исчерпывающее его исследование было дано Эйлером и Лагранжем.
Наконец, в 1846 г., обобщив результаты Ферма, Эйлера и Лагранжа, Лежен Дирихле построил свою теорию единиц в полях алгебраических чисел.
Ферма рассматривал и более общее неопределенное уравнение второго порядка
ax2 + b = y2
Приведя пример неопределенного уравнения
2x2 + 7967 = y2
он писал: «Я нашел общее правило, чтобы решать такое уравнение, если оно возможно, или чтобы определять его невозможность.
И это — во всех случаях и для всех чисел».
Далее, в примечаниях к Диофанту, приведя пример так называемого двойного равенства
2x + 3 = u2
3x + 5 = v2
решение которого, как нетрудно видеть, сводится к решению уравнения вида
au2 - bv2 = c
он писал: «Баше в комментариях к Диофанту приписывает себе честь нахождения правила для двух частных случаев.
Я даю общее правило для всех случаев. И определяю правилами, является ли оно возможным или нет».
Великая теорема Ферма
В замечании к 8-й задаче II книги «Арифметики» Диофанта, в которой требуется разложить заданное квадратное число а2
в сумму двух квадратов, Ферма высказал следующее утверждение:
«Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата, ни,вообще, степень, большую квадрата,
на две степени с тем же показателем; я открыл этому поистине чудесное доказательство,
которое из-за недостатка места не может поместиться на этих полях».
Это и есть так называемая великая теорема Ферма, которую теперь выражают в такой форме:
xn + yn = zn
Однако в своих письмах Ферма говорил об этой теореме только для случаев п = 3 и п = 4. Последний случай был доказан самим Ферма.
Это единственное теоретико-числовое доказательство, которое от него дошло.
Оно содержится в замечаниях к Диофанту, и в нем доказывается, что не существует прямоугольного треугольника в целых числах,
площадь которого была бы квадратом.
Из этого предложения следует, что не существует двух биквадратов, сумма которых равнялась бы квадрату,
а значит, и биквадрату. Доказательство проводится методом спуска.
В 1659 г., за два года до смерти, Ферма описал этот метод в своем письме-завещании, адресованном Каркави,
которое известно под названием «Сводка новых результатов в науке о числах».
Ферма пишет, что «поскольку обычные методы, находящиеся в книгах, были недостаточны для доказательства столь трудных предложений,
то я, наконец, нашел совершенно особый путь для их достижения. Я назвал этот способ доказательства бесконечным
или неопределенным спуском» (des-cente infinie ou indefinie).
Вначале Ферма пользовался этим методом только для доказательства отрицательных предложений, например:
«Не существует прямоугольного треугольника в целых числах, площадь которого была бы квадратом».
«Доказательство проводится следующим образом: если бы существовал прямоугольный треугольник в целых числах,
площадь которого была бы квадратом, то существовал бы другой треугольник, меньший первого,обладающий тем же свойством.
Если бы был второй, меньший первого и с тем же свойством, то тем же рассуждением мы получили бы третий,
обладающий тем же свойством и меньший второго, наконец, четвертый,пятый и т. д., спускаясь до бесконечности.
Но если дано число, то не существует бесконечного множества чисел, меньших, чем оно...
Отсюда заключают, что невозможно существование прямоугольного треугольника,площадь которого была бы квадратом».
Далее Ферма говорит, что после долгих размышлений он смог применить свой метод и для доказательства утвердительных предложений,
как,например: каждое простое число вида 4n + 1 представимо суммой двух квадратов. Но для применения метода к доказательству
других предложений, например для доказательства того, что каждое число представимо суммой не более четырех квадратов,
требуется применение «новых принципов», на которых Ферма подробнее не останавливается.
Далее идет перечисление всех теорем, которые Ферма доказал, пользуясь методом спуска.
Среди них находится и великая теорема для случая п = 3. В конце письма Ферма выражает надежду, что этот метод окажется
полезным для последующих математиков и покажет им, что «древние не все знали».
К сожалению, это письмо было опубликовано только в 1879 г.
Однако Эйлер восстановил метод по отдельным замечаниям Ферма и с успехом применил его к проблемам неопределенного анализа.
Ему, в частности, принадлежит и доказательство великой теоремы для п = 3. Напомним, что первая попытка доказать неразложимость
куба натурального числа в сумму двух кубов была сделана около 1000 г. на арабском Востоке.
Метод спуска вновь начал играть ведущую роль в исследованиях по диофантову анализу у Пуанкаре и А. Вейля.
В настоящее время для применения этого метода вводится понятие высоты, т. е. такого натурального числа,
которое определенным образом ставится в соответствие каждому рациональному решению. При этом если удастся доказать,
что для каждого рационального решения высоты h найдется другое решение высоты меньше h, то отсюда будут следовать неразрешимость
задачи в рациональных числах.
Доказательство самого Ферма для n=4:
Ферма утверждает, что площадь
S = 1/2 * ab
прямоугольного треугольника с катетами а, Ь и гипотенузой с, где а, Ь, с — целые числа, не может быть квадратом.
Из этого следует Великая теорема Ферма для n = 4. Действительно, по формулам для «пифагоровых чисел»
a = ξ2 - η2 , b = 2ξη , c = ξ2 + η2
где ξ, η можно предполагать взаимно простыми и различной четности.
Если бы площадь
S = ξη * (ξ2 - η2)
была квадратом, то ξ, η, ξ + η, ξ - η были бы квадратами:
ξ = p2
η = q2
ξ2 - η2 = r2
а тогда и разность двух четвертых степеней
p4 - q4 = r2
равнялась бы квадрату. Из невозможности последнего равенства следует, что
p4 - q4
не может равняться четвертой степени, т. е. следует Великая теорема Ферма для n=4.
Метод бесконечного спуска Ферма пошагово для n=4:
Пусть площадь треугольника
S = 1/2 * ab
есть квадрат. Из этого следует, что существуют два числа, разность биквадратов которых равна квадрату:
p4 - q4 = r2
Если это так, то и сумма квадратов этих чисел
p2 + q2
и разность квадратов этих чисел
p2 - q2
также должны быть квадратами. Из следующего равенства
(p2 - q2) * (p2 + q2) = r2
следует
p2 + q2 = u2
p2 - q2 = v2
где u, v - нечетны и взаимно просты. Откуда
p2 = q2 + v2
u2 = v2 + 2q2
Само u будет суммой квадрата и удвоенного квадрата.
u2 - v2 = (u+v)(u-v) = 2q2
Поскольку u и v нечетны и взаимно просты, то u+v и u-v имеют НОД=2, а их произведение должно делиться на 8.
Пусть
u - v = 4m2
u + v = 2n2
тогда
u = n2 + 2m2
v = n2 - 2m2
т.е. u представляется в том же виде, что и u2. Далее:
p2 = (u2 + v2) ⁄ 2 = n4 + 4m4
q2 = (u2 - v2) ⁄ 2 = 4n4m4
Значит, n2 и 2m2 являются сторонами прямоугольного треугольника в числах.
Поскольку
n4 + 4m4 = p2
то существуют такие взаимно простые числа τ и σ , что
p = τ2 + σ2
n2 = τ2 - σ2
2m2 = 2τσ
Значит
(τ+σ)(τ-σ) = n2
и
τσ = m2
откуда
τ = p12
σ = q12
p14 - q14 = n2
При этом
p12 + q12 < p2 + q2
Это можно установить, заметив, что
p12 + q12 < n2 < p2 + q2
Повторяя проведенное рассуждение, получим бесконечную цепочку убывающих целых чисел:
p2 + q2 > p12 + q12 > p22 + q22 > ...
что невозможно. Рассуждения такого рода Ферма и называл доказательством «методом бесконечного или неопределенного спуска».
Доказательство теоремы Ферма для n=3
Приведем доказательство Эйлера из его Универсальной Арифметики, изданной в 1768 году.
Теорема. Невозможно найти два куба, сумма или разность которых будет кубом.
Если невозможность, о которой идет речь, имеет место для суммы, то она имеет место также для разности двух кубов.
В самом деле, если невозможно
x3 + y3 = z3
то невозможно также
x3 - y3 = z3
Если это так, то достаточно будет доказать искомую невозможность либо только для суммы, либо только для разности.
Последовательность рассуждений, которых требует это доказательство:
1. Можно считать числа х и у взаимно простыми, ибо, если бы они имели общий делитель,
кубы были бы также делимы на куб этого делителя. Например, пусть
х = 2а и у = 2Ь
будем иметь
x3 + y3 = 8a3 + 8b3
однако если эта формула—куб, то a3 + b3 также является кубом.
2. Далее, так как х и у вовсе не имеют общего делителя,то эти два числа или оба нечетные, или одно четное, а другое нечетное.
В первом случае необходимо, чтобы z было четным, и во втором — нечетным. Следовательно, из этих трехчисел х, у и z всегда имеется
одно четное и два нечетных; и нам достаточно для нашего доказательства рассмотреть случай, когда х и у оба нечетные,
ибо безразлично доказывать ли невозможность, о которой идет речь, для суммы или для разности, и что часто происходит,
что сумма становится разностью, когда один из корней отрицателен.
3. Если, следовательно, х и у нечетны, ясно, что как их сумма, так и разность будут числами четными.
Пусть,следовательно,
(x+y) ⁄ 2 = p и (x-y) ⁄ 2 = q
тогда мы будем иметь
x = p+q и y = p - q
откуда следует, что одно из двух чисел p и q должно быть четным и другое нечетным.
Итак, мы имеем
x3 + y3 = 2p3 + 6pqq = 2p(pp+3qq)
так что речь идет о том, чтобы доказать, что это произведение 2p{pp + 3qq) не может стать кубом;
и если доказательство должно было относиться к разности, то мы имели бы
x3 - y3 = 6ppq + 2p3 = 2q(pp+3qq)
совершенно ту же самую формулу, что и предыдущая, если поставить р и q одно вместо другого.
Следовательно, достаточно для нашего вопроса доказать невозможность формулы 2p(pp + 3qq), так как из этого необходимо будет следовать,
что ни сумма, ни разность двух кубов не может стать кубом.
4. Следовательно, если
2p(pp + 3qq)
было бы кубом, этот куб был бы четным и, следовательно, делился бы на 8; следовательно, необходимо, чтобы восьмая часть нашей формулы
или
(p(pp + 3qq)) ⁄ 4
была бы числом целым и, сверх того, кубом. Однако мы знаем, что одно из чисел р и q. четное, а другое нечетное;
так как pp + 3qq должно быть числом нечетным, вовсе не делящимся на 4, нужно, чтобы таковым было р или чтобы p/4 было бы числом целым.
5. Но для того, чтобы произведение (p(pp + 3qq)) ⁄ 4 было бы кубом, нужно, чтобы каждый из его сомножителей в отдельности,
если они не имеют общего делителя, был бы кубом; ибо, если произведение двух взаимно простых сомножителей должно быть кубом,
необходимо, чтобы каждый был бы сам кубом; в ином случае, если эти сомножители имеют общий делитель, требуется особое рассмотрение.
Следовательно, вопрос здесь в том, чтобы знать — не могут ли два сомножителя р и pp+3qq иметь общий делитель?
Для ответа на него нужно принять во внимание, что если эти сомножители имеют общий делитель, то числа рр и рр + 3qq будут иметь тот же
самый делитель; что также разность этих чисел, которая есть 3qq, будет иметь один и тот же общий делитель с рр и что так как р и
q — взаимно просты, то эти числа рр и 3qq не могут иметь другого общего делителя, кроме 3, что имеет место, когда р делится на 3.
6. Нам нужно исследовать, следовательно, два случая: первый — тот, когда множители р⁄4 и pp+3qq вовсе не имеют общего делителя,
что случается всегда, когда р не делится на 3; другой случай — тот, когда эти множители обладают общим делителем, и это имеет место,
когда р может делиться на 3, так как тогда два числа делятся на 3.
Нам нужно тщательно различать эти два случая один от другого, так как каждый из них требует отдельного доказательства.
7. Первый случай. Пусть р не делится на 3 и, следовательно, наши два сомножителя р⁄4 и pp+3qq — взаимно просты, так что каждый
в отдельности должен быть кубом. Для того чтобы добиться сначала, чтобы pp+3qq стало кубом, нужно только положить, как мы это видели выше,
p + q√-3 = (t+u√-3)3
и
p - q√-3 = (t-u√-3)3
что дает
pp + 3qq = (tt+3uu)3
т.е. куб. Теперь отсюда
р = t3 — 9tuu = t(tt—9uu)
и
q = 3ttu - 3u3 = 3u(tt - uu)
Далее, так как q — нечетное число, нужно, чтобы u также было бы нечетным и, следовательно, чтобы t было бы четным,
так как в противном случае tt — uu было бы четным.
8, Теперь, когда мы преобразовали pp+3qq в куб и нашли p = t(tt—9uu) = t (t + Зu) (t—Зu), речь пойдет о том, чтобы также р⁄4 и,
следовательно, 2р стало бы кубом; или же, что то же самое, формула 2t(t+3u)(t—Зu) стала кубом.
Однако мы должны заметить здесь, что t — число четное и не делящееся на 3, так как в ином случае р делилось бы на 3,
что мы специально предположили не выполненным; так что три сомножителя 2t, t + 3 u t - Зu — взаимно просты, и необходимо,
чтобы каждый из них был бы в отдельности кубом. Если же мы положим
t+3u = f3 и t—3u = g3
будем иметь
2t = f3 + g3
Следовательно, если 2t — куб, мы будем иметь два куба f3 и g3, сумма которых будет кубом и которые, очевидно,
будут намного меньше, чем кубы x3 и y3, рассмотренные вначале; ибо,
как мы сначала положили,
x = p + q и у = р — q
и так как мы только что определили р и q через буквы t и и,
необходимо, чтобы числа х и у были бы намного больше, чем t и и.
9. Еcли, следовательно, существовали бы среди больших чисел два куба такие, которые нам требовались,
можно было бы найти также среди меньших чисел два куба, сумма которых была бы кубом, и можно было бы всегда прийти
тем же самым способом к кубам еще меньшим.
Однако, как хорошо известно, не существует таких кубов среди маленьких чисел, откуда следует,что их тем более нет среди самых больших.
Это заключение подтверждается тем, что получается во втором случае, и которое есть то же самое, как мы сейчас это увидим.
Здесь впервые понятие целости было отделено от обычных чисел и перенесено на более широкий класс объектов.
Это послужило началом теории алгебраических чисел, развитой в XIX в. в работах К. Гаусса, П. Дирихле, Э. Куммера, Р. Дедекинда,
Е. И. Золотарева, Л. Кронекера и Д. Гильберта.
Вся последующая алгебраическая теория чисел вплоть до работ Гаусса развивалась, отправляясь от проблем Ферма.
Исследовались в основном вопросы представления чисел квадратичными формами и задачи диофантова анализа,
в частности неопределенные уравнения второго порядка.
В работах Лагранжа, а особенно Гаусса, первый из названных вопросов был преобразован в теорию квадратичных форм,
которая по существу являлась первым учением об арифметике квадратичных полей.
Этот же вопрос привел Эйлера к открытию квадратичного закона взаимности.
Наконец, в XIX в. исследования, связанные с великой теоремой Ферма и законами взаимности, потребовали расширения области арифметики.
При изучении биквадратичного закона взаимности Гаусс ввел целые комплексные числа, а попытки доказательства великой теоремы привели
к рассмотрению целых чисел в полях деления круга. Центральной проблемой алгебраической теории чисел в XIX в. становится
построение арифметики в кольцах алгебраических чисел. Для спасения обычных законов арифметики вводятся идеальные множители
(Куммер, Золотарев), идеалы (Дедекинд) и дивизоры (Кронекер).
Строится теория колец, модулей и идеалов, появляются локальные и полулокальные кольца.
И все эти ветви восходят к проблемам Ферма.
Более трехсот лет Великая теорема Ферма привлекала внимание многих поколений математиков и служила стимулом
для развития математики. Честь доказательства великой теоремы Ферма для n=5 разделили в 1825 году два
математика: немец Дирихле, который только что достиг двадцати лет и как раз начинал свою научную карьеру,
и француз Лежандр.
В 1832 году, через семь лет после того,как был доказан случай n = 5, Дирихле опубликовал доказательство случая n = 14.
В 1839 году французский математик Ламе опубликовал доказательство для n =7.
Все эти доказательства технически очень сложны, однако их методы, по существу, элементарны.
В 1847 году немецкий математик Куммер создал теорию «идеального разложения», позволившую одним приемом доказать теорему
Ферма для всех простых показателей, меньших 100, кроме n = 37, 59 и 67.
Начиная с этого времени основные усилия математиков были направлены на нахождение все более мощных достаточных условий,
при которых выполняется теорема Ферма. Были разработаны разнообразные средства, приведшие к созданию обширного раздела математики -
теории алгебраических чисел. Теорема Ферма была проверена для всех n < 4 000 000,
но до конца 1994 года в общем случае оставалась недоказанной. Получить ее полное доказательство удалось лишь с помощью
теории эллиптических кривых.
|