blog.iakovlev.org
  25.10.2015

Дзета-функция Эйлера

1. Базельская задача

Эта история началась в 1644 году, когда итальянский математик Пьетро Менголи предложил вычислить сумму обратных квадратов. Позднее эта задача получила название как Базельская задача, в честь швейцарского города Базеля, в университете которого профессорами математики один за другим были двое братьев Бернулли - Якоб и Иоганн. Они нашли доказательство расходимости. т.н. гармонического ряда. Якоб опубликовал это доказательство в своей книге, в которой публично сформулировал еще раз задачу Менголи.
Гармонический ряд выглядит так:

Базельский ряд, иллюстрирующий базельскую задачу, слегка отличается от гармонического. В отличие от последнего, базельский ряд сходится:

В следующем коде вычисляется сумма базельского ряда. После миллиона итераций точность вычислений равна пяти знакам после запятой:
Код
Для гармонического ряда аналогичная итерация дает сумму 14.3927257228, отчего гармонический ряд еще называют медленно расходящимся рядом.

Эйлер вычислил несколько первых знаков, после чего, обладая сверхъестественными способностями к вычислениям, увидел, что сумма базельского ряда равна
π2/6
После чего он строго доказал, что так оно и есть. Сделал он это еще в 1735 году, в Петербурге. Ход его рассуждений можно проиллюстрировать следующим образом: возьмем за основу известный ряд Тейлора:

Из школьного курса мы знаем, что при x=0, ± π, ± 2π, ± 3π ... синус равен нулю.
Если рассмотреть в качестве примера алгебраическое уравнение 4-й степение:

Пусть его корни равны b, c, d и e. Тогда его можно разложить на линейные множители:

Ряд Тейлора, являясь многочленом, по основной теореме алгебры, можно аналогично представить в виде произведения одночленов:

Правая часть этого равенства преобразовывается к виду:

Если каждое выражение в скобках приравнять к нулю:
x2 - π2 = 0
Далее:
x2 = π2
Далее:
x2 / π2 = 1
Далее:
1 - x2 / π2 = 0
После чего правая часть становится равной:


При этом

Делим обе части равенства на x и получаем

Поскольку

имеем:
K'=1
Получаем ряд:

После перемножения и расрытия скобок в правой части:

Делим обе части на -x22 и получаем:

что и требовалось доказать. Для 4-й степени:

Для 6-й степени:

ζ(8) = π8 / 9450
ζ(10) = 691*π10 / 638512875
ζ(12) = 2*π12 / 18243225
ζ(14) = 3617*π14 / 325641566250
...



Для положительных целых четных значений, кратных двум, Эйлер нашел упрощенную формулу с использованием чисел Бернулли:

или так


В 1755 году Эйлер опубликовал Наставления к дифференциальному исчислению, в которых подвел итог доказательству Базельской задачи.
На данный момент существует много ее различных доказательств, например, есть варианты, в которых используется только интегральное исчисление.

Ряд, состоящий из величин, обратных простым числам, расходится, причем еще медленнее, чем гармонический, примерно к ln(ln(p)) :


Сумма же гармонического ряда оценивается как ln(n+1) < S < 1 + ln(n).

2. Дзета-функция Эйлера

Вычислив сумму обратных квадратов, Эйлер вычислил суммы аналогичных рядов для целых степеней > 2. Так появилась знаменитая дзета-функция Эйлера:

Он смог вычислить ее для любого четного значения S. Для нечетных функций простых формул до сих пор не найдено.
Таблица для первых 5 целых значений дзета-функции, с точностью до 12 знаков после запятой:
2 = 1.644934066848
3 = 1.202056903159
4 = 1.082323233711
5 = 1.036927755143
6 = 1.017343061984

Дзета-функция определена не только для целых, но и рациональных чисел. Например, для s=1.1 она равна 10.58448, для s=1.0001 она равна 10000.577222.
В положительной области определения дзета-функция выглядит так:

Вообще, глядя на уравнение дзета-функции, можно сделать вывод, что она существует только для S > 1. Попробуйте подставить S < 1, и вы увидите, что ряд расходится.
В данном случае бесконечный ряд определяет дзета-функцию только в части ее определения, где S > 1.
На самом деле дзета-функция существует для любого значения, кроме 1, причем не только целого. В области слева от 1 дзета-функция выглядит так:

В начале отрицательной области определения дзета-функция выглядит так:

Для вычисления дзета-функции в области 1 < S < 0 используется разновидность дзета-функции, которая называется эта-функция (от седьмой буквы греческого алфавита):

Формула:

Между дзета-функцией и эта-функцией существует связь:

Например, чтобы вычислить дзета-функцию для 0.5, сначала с помощью ряда вычисляем эта-функцию для 0.5. Зная значения эта-функции, можно с помощью последней формулы вычислить аналогичные значения для дзета-функции. Так, например η(1/2)=0.604.... Отсюда ζ(1/2)= -1.460.
Еще более странным выглядит алгоритм для вычисления дзета-функции для отрицательных значений. Эйлер в 1749 году предложил выразить ζ(1-x) через ζ(x). Т.е. например чтобы вычислить дзета-функцию ζ(-15), надо вычислить ζ(16) и подставить его в формулу, которая выглядит так:

Эта формула работает для целых S. Дзета-функция равна нулю всегда, когда S - отрицательное четное число. Эти нули еще называют тривиальными нулями дзета-функции.


Дзета-функция является фундаментальной функцией современной математики. Она может проявляться в самых неожиданных местах.
Так, для S=3 она равна 1.2020569. Это число называется постоянной Апери.
Постоянная Эйлера

очень важна, т.к. она используется самым неожиданным образом во множестве дисциплин: в статистике. квантовой механике, анализе и теории чисел. Существует связь между этой константой и дзета-функцией:


Существует связь между дзета-функцией и функцией Мебиуса. Областью определения функции Мебиуса являются натуральные числа 1,2,3... Вычисляется функция Мебиуса по следующему алгоритму:
μ(1)=1.
μ(n)=0, если среди делителей числа n есть квадрат.
μ(n)=-1, если число n - простое или является произведением нечетного числа различных простых чисе.
μ(n)= 1 , если число n является произведением четного числа различных простых чисел:


Существует связь между дзета-функцией и числом делителей натуральных чисел:


Существует связь между дзета-функцией и числом простых делителей натуральных чисел:


Существует связь между дзета-функцией и вероятностью выбора взаимно-простых чисел. Пусть имеется отрезок из натуральных чисел [1;N]. Из него случайно выбираем k целых чисел. Вероятность того, что эти числа взаимно просты в совокупности:

В частности, два случайно выбранных числа взаимно просты с вероятностью 6/π2

3. Тождество Эйлера

Еще более загадочная связь существует между дзета-функцией и простыми числами. Эта связь также была установлена Эйлером. Он нашел ее, применив к дзета-функции классический алгоритм просеивания - решето Эратосфена. Доказательство может быть проиллюстрировано следующим образом:
Исходно дзета-функция имеет вид:

Умножим обе части равенства на 1/2S, получим:

Вычитая второе из первого, удаляем все элементы с делителем 2:

Умножим обе части равенства на 1/3S, получим:

Вычитая последнее из предпоследнего, удаляем все элементы с делителем 3:

Применяя в дальнейшем метод просеивания, умножая последовательно на величину, обратную очередному простому числу - 5, 7, 11, 13 и т.д., в конце концов получим:

Разделив последнюю формулу на все множители, получим знаменитое тождество Эйлера, в левой части которого стоит сумма величин, обратных степеням всех натуральных чисел, а в правой части стоит произведение величин, обратных степеням всех простых чисел:

которое можно записать так:

или так:

Впервые тождество упоминается Эйлером в мемуаре Various observations about infinite series, изданном в Петербурге в 1737 году, и выглядело оно вот так:




4. О свойствах степенных рядов

У Эйлера есть работа (E352 по каталогу) о свойствах степенных рядов, которая по латински звучит как Remarques sur un beau rapport entre les series des puissances tant directes que reciproques. Ее английский перевод - Remarks on a beautiful relation between direct as well as reciprocal power series.
К моменту написания этой работы Эйлер уже определил свою знаменитую формулу для дзета-функции в виде обратного степенного ряда. Он также нашел явные формулу для четных натуральных степеней S. Но дзета-функция на тот момент была определена лишь для S > 1. В этой работе он расширяет область определения дзета-функцию на всю числовую область и выводит функциональное выражение, используя эта-функцию. Зная значение эта-функции, мы можем вычислить дзета-функцию в любой области значения, в том числе для S < 1.
Т.о., Эйлер вычислил дзета-функцию на всей числовой прямой еще за 100 лет до Римана.

Эйлер начинает эту работу с рассмотрения двух рядов:

Зная сумму одного из этих рядов, можно вычислить сумму другого ряда, точнее, если мы знаем сумму первого ряда для m, то сможем вычислить сумму второго ряда для : n = m+1.
Сумма первого ряда для m=1 равна 1/4 . В современных терминах это называется сумма Абеля, она определена для x, который по модулю меньше 1. Эта сумма получена исходя из того, что ряд

эквивалентен

Последнее выражение при x=1 равно 1/4.
Для других степеней аналогично:

Если подставить в правой части x=1, получим, что для второй степени сумма равна нулю, третьей - минус 2/16, четвертой - опять ноль, пятой - плюс 16/64, шестой - опять ноль и т.д.
В общем случае формула для вычисления n--й степени:

Каким образом Эйлер получил эти зависимости ? В качестве исходного ряда возьмем следующий:

Сначала умножим его на x, потом продифференцируем, и получим равенство для первой степени. Потом возьмем это равенство, умножим на x, опять продифференцируем, и получим равенство для второй степени, и т.д.

Далее Эйлер приводит формулы для расчета дзета-функции для четных положительных S. В общем виде формула выглядит так:

Здесь B - число Бернулли. Следующий код вычисляет первые несколько значений дзета-функцию по этой формуле с использованием чисел Бернулли:
Код
Эта-функция для четных положительных чисел вычисляется аналогично:

Аналогичный код для эта-функции:
Код
 Автор   Комментарий к данному блогу
Геннадий
           Всё компактно. Очень неплохой материал. Правда.
2017-04-02 10:55:41
Игорь
           Действительно, очень доступно и много интересного. Спасибо
2017-07-17 22:03:50
Комментарий

Ваше имя:
Комментарий:
Оба поля являются обязательными