30.03.2015
Эйлер
Эйлер принадлежит к числу гениев, чье творчество стало достоянием всего человечества.
Открытия Эйлера в математике, механике, физике и технике прочно вошли в современную науку и технику.
До сих пор школьники всех стран изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой им придал Эйлер.
Студенты проходят начала высшей математики по руководствам, первым образцом которых явились классические монографии Эйлера.
Формулы и методы Эйлера повседневно применяются учеными нашего времени; инженеры используют открытия Эйлера в сопротивлении материалов,
теории механизмов, теории турбин, оптической технике и пр.
Деятельность Эйлера продолжает и в наши дни служить ярким примером плодотворного синтеза теории и практики.
Эйлер был прежде всего математиком, воспринимавшим и развивавшим математику как целое, но он знал, что почвой, на которой расцветает
математика, является практическая деятельность. Новые общие и эффективные методы Эйлер создавал, по большей части отправляясь
от трудных частных задач естествознания и техники. Тончайшие методы, разработанные им в теории чисел, находили неожиданные применения
в технике.
Биография
Леонард Эйлер родился в 1707 г. в семье небогатого пастора Пауля Эйлера. Первые уроки по математике мальчик получил у отца,
который в молодости занимался этой наукой под руководством Якова Бернулли. Тринадцати с половиной лет Леонард Эйлер поступил
в Базельский университет и через четыре года, произнеся речь о натурфилософии Декарта-и Ньютона, получил первую научную степень магистра.
Отец желал,чтобы юноша занимался богословием, но Леонард Эйлер, следуя склонности и природным дарованиям, обратился к математике.
В этих занятиях руководителем его был Иоганн Бернулли. Уже вскоре, в 1726—1727 гг., Эйлер выступил в печати с первыми своими
исследованиями по дифференциальной геометрии и приложениям анализа к механике. Тогда же он принял участие в конкурсе Парижской академии
наук на тему о наилучшем расположении мачт на корабле; сочинение его было опубликовано в 1728 г.
Так с первых шагов своей научной деятельности Эйлер проявил интерес как к теоретическим проблемам математики,
так и ее практическим приложениям.
Попытки молодого Эйлера найти применение своим силам в Швейцарии не увенчались успехом.
Когда в 1727 г. в Базельском университете открылась вакансия по кафедре физики, Эйлер не был включен в число кандидатов,
среди которых, по тамошнему обычаю, счастливца избирал жребий. Между тем в учрежденной в 1725 г. Петербургской академии наук
имелась вакансия по физиологии. Друзья Эйлера, Николай и Даниил Бернулли, сыновья его наставника, уже работавшие тогда
в Петербурге, помогли Эйлеру получить приглашение на эту должность. Эйлер стал штудировать анатомию и медицину,
чтобы затем применить d физиологии математические методы. В начале апреля 1727 г. он навсегда покинул Базель и 24 мая приехал в Петербург.
В молодой русской столице Эйлер нашел благоприятные условия для быстрого расцвета своих дарований.
В Академии не стали настаивать на том, чтобы Эйлер занимался физиологией и предоставили ему полную возможность работать над теми
проблемами, которые его особенно привлекали.
В Петербурге собралось тогда немало хороших ученых—математиков, механиков, физиков, астрономов.
К ним принадлежали Даниил Бернулли, сподвижник Лейбница Яков Герман, разносторонне эрудированный Христиан Гольдбах
и другие. Научное общение с коллегами, материальная обеспеченность, широкая возможность публикации работ в изданиях Академии наук
создавали хорошую основу для деятельности Эйлера. За 14 лет жизни в Петербурге он подготовил к печати около 90 работ по различным
вопросам анализа, геометрии, теории чисел и механики, напечатано было около 50.
Среди последних была и двухтомная «Механика» , где впервые аналитически изложена механика точки. Впрочем, Эйлер еще только набирал силы.
Общее количество его сочинений, опубликованных при жизни или посмертно, приближается к 900.
Из них около двадцати больших монографий, нередко в двух или трех томах.
Сюда не входят многие сотни писем научного содержания, отзывы о научных трудах и технических изобретениях и пр.
Эйлер подготовил к научным занятиям и педагогической деятельности ряд крупных русских деятелей, таких как будущие академики
С. К.Котельников, С. Я. Румовский, М. Софронов, позднее — М. Е. Головин, приходившийся племянником Ломоносову по матери.
Учеником Эйлера был и Николай Иванович Фус. Котельников, Румовский и Софронов подолгу жили в семье Эйлера и вместе со старшим его
сыном Иоганном-Альбрехтом ежедневно занимались под его руководством.
Эйлер вообще оказывал широкую поддержку талантливым выходцам из народа, в частности великому Ломоносову и гениальному
изобретателю Кулибину. Когда в 1747 г. влиятельный академический чиновник Шумахер направил Эйлеру для отзыва работы Ломоносова
в надежде на то, что он их резко раскритикует, Эйлер разочаровал Шумахера. Эйлер в полной мере оценил дарование Ломоносова
и глубину его идей. «Все сии сочинения,— гласил отзыв,— не хороши, но и превосходны,токмо ибо он (т. е. Ломоносов)
изъясняет физические и химические материи самые нужные и трудные, кои совсем неизвестны и невозможны былик истолкованию самым остроумным ученым людям,
с таким основательством, что я совсем уверен о точности его доказательств. При сем случаея должен отдать справедливость
господину Ломоносову, что он дарован самым счастливым остроумием для объяснения явлений физических и химических.
Желать надобно, чтобы прочие Академии были в состоянии показать такие изобретения, которые показал господин Ломоносов.»
С Кулибиным Эйлеру пришлось работать в 70-е годы в связи с экспертизой проекта постоянного одноарочного деревянного моста через Неву,
предложенного замечательным русским самоучкой. Проблема строительства мостов стояла в Петербурге весьма остро и Академия наук неоднократно
обсуждала при участии Эйлера и его учеников различные проекты постоянных и наплавных мостов через Неву.
Кулибин предложил метод проверки прочности моста на модели и формулу пересчетаот модели к натуре.
Методы моделирования были в то время делом новым, а правила Кулибина мало обоснованными.
Эйлер дал не только обоснование эмпирического правила Кулибина, но и создал теорию, сохранившую значение до наших дней.
Большое государственное значение имела многолетняя деятельность Эйлера в области черчения карт.
В 1735 г. по поручению правительства предстояло в связи с составлением новых карт большие провести расчетные работы,
на исполнение которых в Академии предполагали затратить многие недели. Эйлер потратил некоторое время на разработку расчетного метода,
но зато выполнил расчеты за три дня. Впоследствии о своей работе он писал: «Я уверен, что география российская через мои и
г.профессора Гейнзиуса труды приведена в гораздо исправнейшее состояние, нежели география немецкой земли.»
G конца 30-х гг. Эйлер по специальному заданию Академии наук приступил к работе над книгой, посвященной вопросам кораблестроительства.
Плодом этих трудов явилась изданная в Петербурге в 1749 г. двухтомная «Морская наука». Трактат Эйлера делится на две части.
В первой излагается общая теория равновесия и остойчивости плавающих тел. Во второй части даются приложения теории к вопросам,
связанным с конструкциейи нагрузкой кораблей. Позднее в 1773 г. Эйлер издал для учащихся морских школ более краткий и облегченный
учебник на французском языке, вскоре вышедший в русском переводе и с примечаниями Головина.
Это сочинение было издано также на английском и итальянском языках.
Эйлер обладал весьма широкими интересами и замечательной памятью. Фус писал о нем: «Он прочитал всех наилучших римских писателей,
знал совершенно древнюю историю математики, деяния всех времен и народов имел в памяти, ни мало не запинаясь,
в пример приводил маловажнейшие приключения. О врачебной науке, ботанике, химии большее имелс ведение, нежели ожидать можно от человека,
который не поставлял сих наук особливым упражнением.»
В 1741 г. при регептстве Анны Леопольдовны в Петербурге сложилась тревожная обстановка. В это самое время Эйлер получил предложение
Фридриха II переехать в Берлин, где король хотел значительно активизировать деятельность Берлинской академии.
Эйлер принял это предложение. Летом 1741 г. он прибыл в Берлин и прожил там 25 лет. Однако и в этот период жизни Эйлера сохранялась
столь неразрывная связь его с Петербургской академией, что мы можем вслед за Фусом повторить: Эйлер никогда не переставал принадлежать
Петербургской академии. Поистине поразительно, как Эйлер, не нарушая интересов обеих Академий, но объединяя их всей своей деятельностью,
с неизменным успехом выполнял все принимавшиеся им обязательства. Почти половину своей научной продукции он публикует в то время
в журналах Петербургской академии, печатает в Петербурге уже упомянутую «Морскую науку», по поручению нашей Академии издает в Берлине
«Теорию движения луны» , «Дифференциальное исчисление» и редактирует математический отдел «Новых комментариев» нашей Академии.
Он закупает для Академии различные машины и приборы, книги и журналы, ведет от ее пмени переговоры с возможными кандидатами
на вакантные должности, постоянно соблюдая при этом интересы Академии. Он рецензирует работы студентов Академического университета
и начинающих русских ученых и т. д.
28 июля 1766 г. Эйлер возвратился в Петербург. Эйлер вторично прибыл в Россию в возрасте почти шестидесяти лет.
Вскоре после возвращения его постигло большое несчастье — почти абсолютная потеря зрения (правым глазом он не видел уже с 1738 г.).
Несмотря на это, в научной деятельности Эйлера не произошло ни малейшего ослабления.
С помощью своих учеников-секретарей (старшего сына, академиков.Л. Ю. Крафта, А. И. Лекселя, М. Е. Головина и особенно Н. И. Фуса)
он за второй, 17-летний, петербургский период подготовил около 400 работ и среди них два тома «Алгебры» ,
три тома «Интегрального исчисления» , три тома «Диоптрики» , три тома «Писем к одной немецкой принцессе» ,
колоссальную «Новую теорию движения Луны» .
Эйлер сохранял полную ясность ума и работоспособность до последнего дня жизни - 18 сентября 1783.
Своим гением Эйлер охватил все отрасли современных ему физико-математических наук — анализ и алгебру, аналитическую и дифференциальную
геометрию, механику твердого тела, жидкостей и газов, оптику ,а также учение электричестве, астрономию, ряд отделов технических наук.
Он заложил основы нескольких самостоятельных дисциплин — вариационного исчисления, теории дифференциальных уравненийи, теории чисел.
В своих работах Эйлер нередко развивал идеи и методы, полное значение которых выяснилось лишь через сто и более лет после егосмерти.
Так, Эйлер первоначально вывел необходимое условие абсолютного экстремума функционала, рассматривал задачу как предельный случай
задачи на экстремум функции многих переменных. У самого Эйлера созданный им прямой метод служил еще средством редукции к
дифференциальному уравнению. В XX в. выяснились существенные неудобства такого сведения, и необходимость в более точных расчетах
привела к выдвижению на первый план и широкому развитию восходящих к Эйлеру прямых методов, которые получили применение
и в решении самих дифференциальных уравнений. Другим примером может служить эйлерова концепция и предложенные им методы обобщенного
суммирования расходящихся рядов. Эйлер получил ряд ценных результатов с помощью расходящихся рядов, хотя и недостаточно строго
с современной нам точки зрения. В частности, он вывел таким образом функциональное уравнение для введенной им же дзета-функции,
уравнение, вновь найденное позднее Риманом. Эти идеи и методы Эйлера в уточненном виде вошли в состав современной теории
суммирования расходящихся рядов.
Дело Эйлера в России было продолжено крупнейшими учеными - М. В. Остроградским, П. Л. Чебышевым и другими представителями
Петербургской математической школы.
Теория чисел
Трудно переоценить роль работ Л. Эйлера в создании большого отдела математики — теории чисел.
Богатство и глубина идей Эйлера предопределили пути развития этой теории на столетия, и созданные им методы продолжают развиваться
и давать многочисленные важные результаты до настоящего времени. До Эйлера существовал лишь набор отдельных числовых результатов,
наибольшее количество которых мы встречаем у александрийского математика Диофанта (конец III в.) и французского математика XVII в.
П. Ферма. В работах Эйлера, доказавшего ряд основных для теории чисел общих теорем, введшего много новых понятий и разрабртавшего
многочисленные новые методы для решения числовых задач, был заложен фундамент этой теории, оформившейся в достаточно законченном
виде после К. Гаусса . Ферма не публиковал своих исследований и ограничивался только формулировками полученных им числовых теорем.
Более того, неясно сейчас, всегда ли он имел их доказательства. Эйлер доказал или опроверг почти все теоремы, высказанные Ферма,
и попутно ввел в рассмотрение ряд новых понятий, ставших в дальнейшем фундаментальными для теории чисел,
в особенности для теории сравнений. Очень большое количество исследований Эйлер посвятил вопросу о свойствах простых чисел
и их распределению в натуральном ряде. Эйлер создал также основные аналитические методы в теории распределения простых чисел
и аддитивной теории чисел. Ему принадлежат и первые высказывания об арифметической природе чисел, другими словами,
о трансцендентности некоторых классов чисел, получающихся в результате трансцендентных операций над числами рациональными или,
более обще, алгебраическими. Как и Ферма, находившийся под влиянием работ Диофанта, Эйлер,
посвятил около 50 исследований вопросам диофантова анализа, другими словами — решению алгебраических уравнений
в целых или рациональных числах.
Первой работой Эйлера по теории чисел была работа, связанная с теоремой Ферма. Эйлер хорошо
был знаком с работами Ферма и под их влиянием написал целый ряд своих.
1. Малая теорема Ферма гласит:
если целое число а не делится на простое число р, то ap-1 - 1 делится на р,
Например, если a=3, p=11, то a11-1 делится на 11.
Ферма рассматривал числа Fn = 22n + 1 и высказал гипотезу, что все они для n = 0, 1, 2, . . .
являются простыми.
Эйлер опроверг эту гипотезу, доказав, что F5 делится на 641. Сейчас числа Fn называются числами Ферма.
Еще не найдено ни одного простого Fn для n>5. Харди высказал гипотезу, что только конечное число чисел Fn являются простыми.
Теорему Эйлера-Ферма можно сформулировать так:
Если p и q - два различных простых числа, а m - любое число, которое не делится на p и q, то
m(p-1)(q-1) = 1 (mod pq), или на примере: пусть р=11, q = 5 (pq = 55), m = 3.
340 = 1 (mod 55). Следующий код на питоне берет первые несколько простых чисел и находит комбинации таких чисел p, q, m:
def primes(n):
sieve = [True] * n
for i in xrange(3,int(n**0.5)+1,2):
if sieve[i]:
sieve[i*i::2*i]=[False]*((n-i*i-1)/(2*i)+1)
return [2] + [i for i in xrange(3,n,2) if sieve[i]]
p = primes(100)
pl = len(p)
print pl
for i in range(2,pl):
print p[i]
for j in range(2,pl):
for m in range(3,1000000):
if p[i] != p[j]:
if m % p[i] !=0:
if m % p[j] !=0:
m1 = m ** ((p[i]-1)*(p[j]-1))
m2 = m1 % (p[i]*p[j])
if m2 == 1:
print 'p=%s q=%s m=%s ' % (p[i], p[j], m)
break
2.
Малая теорема Ферма играет одну из главных ролей в элементарной теории чисел и алгебре. Эйлер нашел принципиально новое обобщение малой
теоремы Ферма. При натуральном числе n Эйлер определил функцию φ(n) (“функция Эйлера”) – количество натуральных чисел,
не превосходящих n и взаимно-простых с n.
Теорема Эйлера: если a и n – взаимно-простые числа, то
aφ(n) − 1 делится на n.
Функция Эйлера и теорема Эйлера занимают одно из центральных мест в современной теории чисел.
Буква φ и символ φ(n) введены Гауссом.
Теорему Эйлера-Ферма можно сформулировать также следующим образом :
Если i - целое число, взаимно простое с натуральным числом j, то ir - 1 кратно j, где r -
количество взаимно простых с j натуральных чисел, не превосходящих j. Эту теорему можно проиллюстрировать следующим кодом,
который находит такие тройки чисел i, j, r:
def gcd(a, b):
if b == 0: return a
else: return gcd(b, a % b)
for i in range(3, 100):
for j in range(3, 100):
if i != j and j > i:
if gcd(i,j) == 1:
r=0
for k in range(1,j):
if gcd(k,j) == 1:
r +=1
i1 = (i**r) - 1
i2 = i1 % j
if i2 == 0:
print '%s %s %s^%s ' % (i, j, i, r )
3. Эйлер много внимания уделил вопросам представимости чисел значениями бинарных квадратичных форм.
Ферма предположил, а доказал Эйлер, что простые числа вида
p = 4n + 1 и только такие представимы в виде
x2 + y2
и указанное представление единственное. Эйлер доказал, что простые
числа вида p = 8n + 1, p = 8n + 3 и только такие, представимы
в виде x2 + 2y2 , простые числа вида p = 6n + 1 и только такие
представимы в виде x2 + 3y2 , причем указанные представления единственные.
Неединственность представления суммой квадратов сложных чисел и единственность представления простых натолкнула Эйлера
на новый метод определения простоты или сложности числа. Действительно, имея в распоряжении таблицу квадратов натуральных чисел,
мы можем определить по этой таблице, сколько раз разность N—х2 будет точным квадратом,
и если только для одного х, меньшего чем корень квадратный из N/2 , она встретится в таблице, утверждать, что N — простое.
Такой метод определения простоты числа естественно неизмеримо проще, чем метод последовательных делений числа N на простые до корня из N.
4. Продолжением явились работы Эйлера по представлению натуральных чисел суммами квадратов.
Занимаясь этой проблемой, Эйлер доказал свое знаменитое тождество: произведение
суммы четырех квадратов на сумму четырех квадратов равня-
ется сумме четырех квадратов. Он был близок к доказательству
теоремы о том, что любое натуральное число есть сумма четырех
квадратов целых чисел (теорема Лагранжа). Это ясно видно по
его записям в записных книжках. После того, как Лагранж доказал теорему о четырех квадратах,
Эйлер вернулся к этой тематике и дал новое, более простое и прямое доказательство теоремы Лагранжа.
5
Эйлер размышлял над Великой теоремой Ферма. Он доказал, что уравнение
x3 + y3 = z3
не имеет решений в натуральных числах x, y, z. Метод его доказательства опирался на арифметику
алгебраических чисел.
Метод спуска, широко развитый Эйлером, заключается в том, что, предполагая существующим нетривиальное решение уравнения Ферма
х, у, z, xyz != 0, он строит другое нетривиальное решение xl, yi, z1, где xi, y1, z1 — целые положительные именьшие
по величине, чем соответственно х, у, z. Естественно, что существование неограниченной последовательности убывающих
нетривиальных положительных целых решений приводит нас к противоречию и доказывает теорему Ферма для всех тех случаев,
когда существование такой последовательности может быть установлено.
Обобщая утверждение Ферма, Эйлер высказал, например, предположение, что уравнение
zn = х1n+х2n + ... + хmn
при m < n не имеет нетривиальных решений в целых положительных числа z1, x1, ... , xm.
К этому кругу вопросов примыкает и решенная Эйлером задача об отыскании всех целых решений уравнения
х4 + y4 = z4 + i4
Эйлер также доказал что уравнение
x3 + 1 = у2
не имеет решений даже в рациональных числах х и у, кроме х = 0; 2.
Ферма поставил задачу найтн прямоугольный треугольник, стороны которого выражались бы целыми числами, и, кроме того, такой,
чтобы сумма катетов была квадратом, а гипотенуза — четвертой степенью целого числа.
Уравнения этой задачи имеют вид х + у = u2, х2 + у2 = v4,
и любопытно отметить,что наименьшим по величине решением является х = 4565486027761,у = 106165293520.
6 Эйлер был одним из первых, кто понял, что иррациональности бывают разной природы – более “простые”, такие как √2,
и более “сложные”, такие, как например логарифм трех по основанию двух.
В своей монографии “Введение в анализ бесконечно малых” он пишет: “Так как логарифмы
чисел, не являющиеся степенями основания a, не могут быть выражены ни рационально, ни иррационально,
то они справедливо относятся к количествам трансцендентным; поэтому логарифмы
обычно причисляются к количествам трансцендентным” .
7
Эйлер, как и его предшественники (Пифагор, Евклид, Ферма), размышлял над простыми числами. Как уже было сказано,
он доказал целый ряд замечательных теорем о представлении простых чисел значениями бинарных квадратичных форм.
Он высказал гипотезу о том, что между a и 2a, где a>2, всегда есть простое число.
Эта гипотеза стала называться “Постулат Бертрана” и была доказана в 1848 г. Чебышевым.
8
Проблема совершенных и дружественных чисел была известна со времен Пифагора.
Натуральное число a называется совершенным, если сумма всех его собственных делителей, т.е. делителей, отличных от a,
равняется a . Например, число 6 является совершенным, так как собственные делители 6 есть 1, 2, 3 и 1 + 2 + 3 = 6.
До Эйлера была теорема Евклида: если
a = (2p − 1)*2p−1
и число 2p − 1 является простым, то a – совершенное число.
Например, при p = 2 получаем: 2p − 1 = 22 − 1 = 3, a = 6; при p = 3 получаем: 2p − 1 = 23 − 1 = 7, a = 28.
Простые числа M = 2p − 1 называются простыми Мерсенна. Эйлер доказал, что если число a является четным совершенным
числом, то оно имеет указанный выше вид. Таким образом, для того, чтобы четное число a было совершенным, необходимо и достаточно,
чтобы оно имело следующий вид:
a = M * 2p-1, где M = 2p-1 - простое число
Эйлер высказал гипотезу, что нет нечетных совершенных чисел (гипотеза не доказана).
Натуральные числа A и B называются дружественными, если
сумма собственных делителей A равняется B и наоборот, сумма собственных делителей B равна A.
До Эйлера были известны две пары дружественных чисел: пара Пифагора (220, 284) и пара
Ферма–Декарта (17296, 18416). Эйлер нашел 59 новых пар, в частности, пары нечетных дружественных чисел; например,
такой парой будет (32 · 7 · 13 · 5 · 17 и 32 · 7 · 13 · 107).
9
Еще одна проблема теории простых чисел прямо связана с Эйлером. Легко доказать, что нет многочлена с целыми коэффициентами,
все значения которого при целых значениях аргумента являются простыми числами. В то же время, повидимому,
со времен Пифагора, стоит проблема о том, что в последовательности
чисел n2 + 1, n = 1, 2, 3, . . . , содержится бесконечно много простых чисел.
Эйлер рассмотрел многочлен
f1(x) = x2 − x + 41,
который при x = 0, 1, 2, . . . , 40 принимает значения простых чисел.
В 1939 г. Бигер рассмотрел многочлен
f2(x) = x2 − x + 72491,
который при x = 0, 1, 2, . . . , 11000 принимает значения 4923 простых чисел.
Возникла гипотеза (Хуа Ло-кен, 1940 г.): для каждого N>1 существует целое число A такое, что многочлен
f (x) = x2 − x + A
при x = 0, 1, 2, . . . , N принимает значения простых чисел (гипотеза не доказана, 2007 г.).
10
В переписке с Гольдбахом была поставлена Проблема Гольдбаха (тернарная ) и Проблема Эйлера (бинарная):
каждое нечетное число большее 9 есть сумма трех нечетных простых чисел и каждое четное число большее 6 есть сумма
двух нечетных простых чисел. Первая была решена в 1937 г. Виноградовым.
11
Эйлер дает исключительно простое, также основывающееся на свойствах бесконечных произведений, доказательство теоремы о том,
что всякое целое может быть представлено, и притом единственным образом, суммой различных степеней двойки.
Введение в анализ бесконечно малых
Совершенно необыкновенным является труд Эйлера, названный им “Введение в анализ бесконечно малых” (коротко “Введение”).
Этот двухтомник впервые вышел на латинском языке в Лозанне в 1748 году.
В нем Эйлер дал образцовый курс двух новых дисциплин:
1. Введение в анализ
2. Аналитическая геометрия
Введение считается одним из самых значительных математических трактатов нового времени.
Многое из этой книги вошло неотьемлимой частью в учебную литературу вплоть до наших дней.
Первая глава первого тома начинается с определения постоянной величины и величины переменной.
Функция - это произвольно составленное аналитическое выражение.
Функции делятся на алгебраические и трансцендентные, а алгебраические в свою очередь - на рациональные и иррациональные.
Иррациональные функции содержат знаки корней. Рациональные функции делятся на целые и дробные.
Вторая глава посвящена тождественным преобразованиям, третья - введению новых переменных.
С четвертой главы начинается рассмотрение бесконечных рядов, в том числе и расходящихся.
Пятая глава посвящена однородным функциям - целым, дробным и алгебраическим.
В шестой главе вводится экспоненциальная функция и логарифмы.
В шестой главе приводится решение следующей задачи.
Задача: Пусть число людей увеличивается ежегодно на одну тридцатую свою часть; спрашивается, каково будет число
жителей через 100 лет?
Пусть вначале число жителей равнялось 100000. Через 100 лет оно будет равно
Сначала вычисляем логарифм от этого значения, а потом находим само значение - решение на питоне:
x = 100 * (math.log10(31) - math.log10(30)) + math.log10(100000)
y = 10**x
print y
>>> 2654873
В следующей седьмой главе Эйлер с помощью ряда
выводит число
e = 2,71828
Следующая программа вычисляет это самое основание натурального логарифма с помощью приведенного ряда:
e = Decimal(1)
x = Decimal(1)
for i in range(1,10):
x *= i
e += Decimal(1/x)
Эйлер выводит формулу для вычисления показательной функции с использованием натурального логарифма,
чем больше будет членов в этом ряду, тем точнее будет результат:
В следующей девятой главе Эйлер выводит с помощью рядов формулы для вычисления синусов и косинусов:
а также числа пи:
В главе XV “О рядах, возникающих при перемножении сомножителей”,
Эйлер вводит функцию, которая впоследствии стала называться дзета-функцией Римана:
При S=n получаем:
Равенство называется тождеством Эйлера. Оно играет в настоящее время главную роль при изучении законов
распределения простых чисел. Сам Эйлер, пользуясь , дал новое, аналитическое, т.е. с привлечением средств анализа,
доказательство теоремы Евклида о бесконечности количества простых чисел.
В главе XVI “О разбиении чисел на слагаемые” Эйлер рассматривает произведение – дробь:
Рассмотрим уравнение:
(10)
где α, β, γ – фиксированные натуральные числа, N – целое неотрицательное число, n, m, l – неизвестные неотрицательные числа.
Пусть I(N) – количество решений этого уравнения. Как найти I(N)? Рассматривая произведения F (x),
(11)
видим, что оно равно
Если |x| < 1, то каждая из сумм в (11), как сумма членов геометрической прогрессии, равна, соответственно,
т.е. получаем равенство (ср. с дробью Эйлера):
Тем самым мы получили метод нахождения количеств решений
уравнения (10), который сейчас называется методом “производящих” функций.
Функция F (x) – “производящая”, коэффициенты ее ряда Тейлора при xN и есть I(N) – нужные нам величины.
Как сказал Лаплас: “Читайте, читайте Эйлера, он учитель всех нас”.
Леонард Эйлер. Введение в анализ бесконечных. Том 1
Леонард Эйлер. Введение в анализ бесконечных. Том 2
Леонард Эйлер. Дифференциальное исчисление
Полный список трудов Леонарда Эйлера (на английском языке) можно найти тут или тут
|