Квадратура круга

Все знают, что такое круг и что такое квадрат. Все знают или по крайне мере воображают себе, что знают, что такое площадь ограниченой фигуры; всякому кажется поэтому очень простой и понятной задача: начертить квадрат, площадь которого была бы точно равна площади данного круга.

Если обозначить радиус круга через г, диаметр его — через d=2r, длину окружности — через u и площадь — через J, то имеют место равенства:

где π есть отношение, одно и то же для всех кругов, длины окружности к своему диаметру. Если принять радиус круга за единицу, то задача сводится к нахождению квадрата со стороной, равной корню квадратному из числа пи. С середины XVIII в. известно, что π не может быть представлено как отношение двух целых чисел, т. е. что π есть иррациональное число. Разложение π в десятичную дробь начинается следующими цифрами:

π = 3,141592653589793...

Большинство планиметрических задач на построение (как, например, преобразование многоугольника в равновеликий квадрат) может быть разрешено исключительно при помощи комбинирования следующих двух элементарных задач:
1. Провести прямую линию через две данные точки.
2. Описать около данной точки окружность данного радиуса.
Эти две элементарные задачи не могут уже быть приведены к более простым, и в планиметрии их считают разрешенными: первую с помощью линейки, вторую с помощью циркуля. Ввиду того, что планиметрия не дает решения обеих элементарных задач, а предполагает его уже выполненным, эти задачи называют также постулатами. Вопрос о возможности кеадратуры круга заключается, таким образом, в следующем: возможно ли превратить круг в равновеликий ему квадрат, пользуясь исключительно двумя указанными элементарными задачами, т. е. употребляя только циркуль и линейку. Мы видели, что этот вопрос сводится к возможности построить отрезок πd по данному отрезку d, где d - это диаметр.

История решения задачи о квадратуре круга делится на три больших периода:
1 Первый период начинается с зарождения самой математики и тянется до открытия диференциального и интегрального исчислений, т. е. до второй половины XVII в. Период начинается с эпохи Архимеда и заканчивается Гюйгенсом. В первом периоде речь шла преимущественно о том, чтобы вычислить возможно точнее число π, т. е. осуществить с каким угодно приближением круга.
2 Второй период, начинаясь с открытия диференциального и интегрального исчислений, заканчивается в 1766 г. с появлением основного сочинения Ламберта. Этот период продолжался всего одно столетие. Во втором периоде исключительное значение получает существенно теоретический вопрос об отыскании для числа π аналитических выражений, содержащих бесконечный ряд операций.
3 Третий период можно назвать критическим. Здесь речь идет уже не о величине или аналитическом выражении числа π, как это было раньше, но, главным образом, о природе этого замечательного числа, т. е. о том, является ли оно числом рациональным или иррациональным, алгебраическим или трансцендентным.

Первые сведения о квадратуре круга мы находим в учебнике математики древних египтян, папирусе Ринда (2000 до н.э.). В папирусе без всякого обоснования дано правило для определения площади круга; она равна площади квадрата, сторона которого равна диаметру круга, уменьшенному на одну девятую - 1/9 - от своей длины, откуда поучаем довольно точное значение для числа пи - 3,1604. Древние вавилоняне вообще округляли число пи до трех.

У древних греков проблемой квадратуры круга занимались Анаксагор, Гиппий, Антифон, Бризон, который присоединил ко вписанным в окружность многоугольникам описанные и введя,таким образом, в математику понятие о нижней и верхней границе. Гиппократ пытался решить эту задачу с помощью известных Гиппократовых луночек. Архимед был первым, кто поставил решение задачи на научную почву. Он написал труд "Измерение круга", в котором доказывает следующие теоремы:
1. Каждый круг равновелик прямоугольному треугольнику, у которого один катет равен радиусу, а другой — равен выпрямленной окружности круга.
2. Площадь круга относится к квадрату его диаметра(приблизительно), как 11 к 14.
3. Длина окружности превышает тройной диаметр меньше чем на одну седьмую - 1/7, но больше чем на десять семьдесят первых - 10/71 - частей диаметра.
Для доказательства 3-й теоремы Архимед последовательно определяет стороны описанных шестиугольника, двенадцатиугольника, двадцатичетырех-угольника, сорокавосьми-угольника и девяностошести-угольника, выраженные с помощью диаметра. Вычисления, выполняемые при этом Архимедом, тем более достойны нашего удивления, что необходимые многократные извлечения квадратных корней, в эпоху, когда индийская система счисления и десятичные дроби были еще не известны, представляла трудности, о которых в настоящее время лишь с трудом можно себе составить представление.
Верхняя граница для числа пи, найденная Архимедом, равна 3 + 1/7 = 3,14285 , нижняя - 3 + 10/71 = 3,14084. Чуть позже Птолемей найдет более точное значение для числа пи: 3 + 8/60 + 30/3600 = 3,14166

Индусы в начале новой эры продвинулись в вычислении. Арьябхатта знал, что 62832 / 20000 = 3,1416. Позже арабы принесли в Европу индийскую десятичную систему счисления.

В средние века стоит отметить Леонарда Пизанского - 12 век - который написал Практическую геометрию, в которой с помощью Архимедова метода использует вписанный 96-угольник и находит более точную границу для числа пи: 1440 / (458*1/5) = 3,1427 и 1440 / (458*4/9) = 3,1410
Николай Кузанский (1401—1464), между 1450 и 1460 г., посвятил несколько работ аркуфикации прямой, а именно, он поставил себе задачу, исходя из данного равностороннего треугольника, постепенно переходить к правильным многоугольникам того же периметра, но большего числа сторон, чтобы в конце концов притти к кругу того же периметра, радиус которого нужно было бы тогда определить. В 15 веке Региомонтан занимался преобразованием математики и тригонометрии. Он составил точные таблицы синусов углов и тангенсов. Первый математик, которому удалось найти для отношения окружности к диаметру, т. е. для числа π, значение, далеко превосходящее по точности все раньше известные значения, был голландский инженер Адриан Меций. Им найдено значение π = 355 / 113 = 3,1415929.

Особая роль в решении проблемы квадратцры круга принадлежит французскому математику Виетта (1540 - 1603). Он сформулировал теорему:
Если в круг вписаны два правильных многоугольника, из которых второй имеет вдвое больше сторон, чем первый, то площадь второго многоугольника так относитсн к площади первого, как диаметр относится к хорде, дополнительной к стороне первого (т. е. как радиус к апофеме).
Начиная с вписанного квадрата, Вьета переходил затем к правильному 8-угольнику, 16-угольнику,32-угольнику и т. д. до бесконечности, постоянно удваивая число сторон. Вычисляя дополнительную хорду стороны каждого из этих многоугольников, он мог последовательно определить отношение площади каждого многоугольника к предыдущему. Перемножив это бесконечное множество отношений, он получил отношение площади круга к первому многоугольнику,т. е. к квадрату.
По сути, Вмета развивал мысли, высказанные еще Антифоном. Он пришел к выводу: круг с диаметром, равным единице, имеет площадь:

И все это равно числу пи, разделенному на два. Эта замечательная формула представляет собой не только первое точное аналитическое выражение для числа пи, но также первый пример выражения числа пи в виде бесконечного произведения. Виета вычислил число пи с точностью вплоть до 9 знака после запятой. Позже в 1596 году голландец Лудольф ван-Цейлен определил число пи с точностью до 32-го знака: 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 50 < π < 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 51.

Позже Гюйгенс написал знаменитый труд "De circuit magnitudine inventa". В ней он сформулировал следующие теоремы:
Всякий круг больше вписанного в него равностороннего многоугольника, увеличенного на треть разности между этим многоугольником и другим вписанным многоугольником, имеющим вдвое меньше сторон (теорема V).
Длина каждой окружности больше периметра вписанного в нее правильного многоугольника, увеличенного на треть разности между его периметром и периметром вписанного многоугольника с вдвое меньшим числом сторон [теорема VII).
Каждый круг меньше двух третей описанного около него равностороннего многоугольника, увеличенных на одну треть подобного ему вписанного многоугольника (теорема VI).
Длина окружности меньше, чем меньшее из двух средних пропорциональных между периметрами правильных подобных многоугольников, из которых один вписан в круг, а другой описан около него. Площадь же круга меньше, чем многоугольник, подобный этим многоугольникам и имеющий периметр, равный большему из двух средних пропорциональных (теорема I).
Если обозначить длину дуги, меньшей, чем полуокружность, через а, синус ее через s, хорду ее через s', то а заключается всегда между пределами (теорема XVI):

Благодаря этим и многим другим предложениям, которые представляют большой интерес независимо от задачи о численном спрямлении, Гюйгенсу удается получить для числа π всегда втрое больше десятичных знаков, чем получается по обыкновенным методам. Для получения архимедовых приближений ему достаточно было пользоваться правильным треугольником. В классических работах Снеллия и Гюйгенса созданный Архимедом метод вписанных и описанных многоугольников достиг самого высокого развития, но вместе с тем был исчерпан.

Во второй половине XVII в. под влиянием анализа бесконечно малых, созданного Ньютоном и Лейбницем, произошел великий переворот в математических воззрениях и методах, который в большой степени отразился и на теории круга. Вместо способа вписанных и описанных многоугольников, которым пользовались раньше для измерения круга, отныне основной задачей сделалось разыскание аналитических выражений для отношения длины окружности к диаметру, вследствие чего старые элементарные геометрические методы были совершенно заброшены.
Английский профессор Валлис нашел для числа π выражение в виде бесконечного произведения, которое составлено только из рациональных операций :

Важнейшим исходным пунктом для дальнейших исследований по измерению круга послужил ряд, найденный сначала Грегори (1670), а затем независимо от него Лейбницем (1673), и дающий по данному тангенсу χ (измеренную радиусом) дугу arctgx, а именно:

arctg x = x - x³/3 + x⁵/5 - x⁷/7 + ...

Полагая в вышеуказанном ряду, выражающем arctg χ с помощью тангенса х=1 и, следовательно,arctg χ = π/4, получаем так называемый ряд Лейбница:

π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...

Хотя Лейбницев ряд по простоте значительно превосходит выражения Вьеты, Валлиса, тем не менее, вследствие своей медленной сходимости, он не очень пригоден для вычисления π. Но из этого ряда можно вывести и быстро сходящиеся ряды, например:

По этой формуле Шарп выислил число пи с точностью до 72-го знака.
Гораздо более удобными оказались зависимости, которые в настоящее время носят название теоремы сложения и вытекают из равенства:

В 1706 году английский математик Машин воспользовался формулой

или

Машин вычислил с ее помощью число пи с точностью до 100-го знака.
В 1844 г. гамбургский вычислитель Захарий Дазе в течение не более двух месяцев нашел π с 200 десятичными знаками, пользуясь формулой:

Вот это число:

Исследования Архимеда о вписанных и описанных многоугольниках, доведенные до конца Гюйгенсом, в особенности же исследования, которые, начиная со второй половины XVII в., опирались на анализ бесконечно малых, а именно на теорию бесконечных рядов, в частности, на ряд Грегори, привели к методам, дающим возможность выполнять измерение круга с какой угодно степенью точности. Хотя число π было известно с более чем 100 десятичными знаками, хотя были также известны очень интересные в научном отношении и практически весьма удобные выражения для π, например в форме быстро сходящихся рядов, однако природа этого важного и замечательного числа была столь же неизвестна, как и в древности, в том отношении, что все еще оставалось неизвестным, рационально ли число π или нет. Вместе с тем ивопрос о возможности квадратуры кругаже оставался столь же темным, как и во времена Архимеда; не была еще даже найдена пригодная для научного исследования формулировка вопроса.

Тригонометрия была основана греками, потом от арабов она перешла к народам христианского средневековья, в эпоху Возрождения, благодаря трудам Пейербаха и особенно Региомонтана, она превратилась в самостоятельную науку. Но та тригонометрия, которой мы теперь располагаем, если мы пока даже ограничимся только ее элементарной частью, представляется по внешней форме творением Эйлера. Эйлер первый, например, стал обозначать стороны треугольника коротко буквами а, Ь, с, противолежащие же углы — буквами α, β, γ, что привело его к кратким обозначениям cos α, sin α, tg α, sec α, ctg α, cosec,которые, таким образом, вошли в общее употребление. До Эйлера эти выражения или заменялись особыми буквами, или чаще всего выражались длинно словами. Само содержание тригонометрических выражений стало иным со времени Эйлера и благодаря ему. В то время как раньше синус, косинус, тангенс, котангенс обозначали некоторые линии, связанные с дугой круга, Эйлер впервые стал определять эти выражения как отношения указанных линий к радиусу круга. Благодаря этому выражения sin z, cos z и т. д. приобрели совершенно иной характер: они стали аналитическими величинами, функциями z. Таким образом Эйлер является творцом тригонометрических функций. Вместе с тем новая точка зрения на тригонометрические величины привела его к одному из его бесспорно прекраснейших открытий, а именно, к открытию замечательной зависимости между показательной и тригонометрическими функциями. Эта зависимость выражается равенствами:

где e^z есть показательная функция, определяемая постоянно сходящимся рядом:

Формулы Эйлера, которые могут быть написаны также в виде:

представляют собой исходный пункт всех позднейших исследований о природе числа π. Полагая в них z = π,получаем:

Эта основная зависимость между обоими числами е = 2,718281828459045 ... и π = 3,141592 653 539 793... служит ключом для решения вопроса о возможности квадратуры круга. Эйлер дал много выражений для вычисления числа пи:

Вообще говоря, обозначение этого отношения буквой π,равно как и обозначение основания натуральных логарифмов буквою е, введено Эйлером.

Только после открытия Эйлером важной зависимости между показательной и тригонометрическими функциями для исследования вопроса об иррациональности числа пи были открыты новые пути. Именно эта зависимость и позволила Иоанну Генриху Ламберту дать в 1766 г. первое доказательство иррациональности обоих столь тесно связанных между собой чисел е и π. Ламберт доказал следующие две теоремы:
1 Если χ есть отличное от нуля рациональное число, то е^х не может быть рациональным числом .
2. Если χ есть отличное от нуля рациональноечисло, то tg χ не может быть рациональным числом.
Ламбертову доказательству иррациональности числа π недоставало для полной строгости одной леммы об иррациональности известных в простирающихся бесконечность непрерывных дробей, которую позже дал Лежандр. Суть этой леммы заключается в следующем:
Если в простирающейся в бесконечность непрерывной дроби

m, n и т.д. суть целые положительные или отрицательные числа, причем дроби m/n все меньше единицы, то значение этой дроби есть иррациональное число.
Лежандр мог без труда доказать строго иррациональность числа π. Те же соображения дали ему при этом возможность доказать также и иррациональность квадрата числа π.
Доказательство иррациональности числа π, данное Ламбертом и Лежандром, значительно подвинуло вперед разрешение вопроса о возможности квадратуры круга. Правда, еще не была исключена возможность квадратуры, так как некоторые иррациональные числа также могут быть построены при помощи циркуля и линейки; но вероятность, что задача может быть разрешена этими средствами, сделалась значительно меньше. Главный результат был, однако, тот, что, наконец, после продолжительных поисков был найден ясно намеченный путь, по которому должно было пойти исследование.

Доказательство иррациональности числа е принадлежит Фурье. Это доказательство выводит иррациональность непосредственно из ряда:

В 1840 г. Иосиф Лиувилль присоединил к известным до него свойствам числа е еще два новых свойства, а именно, пользуясь указанным выше приемом Фурье, он показал, что е не может быть корнем квадратного уравнения с рациональными коэфициентами, т. е. что невозможно равенство ae² + be + c = 0, где а, Ь, с суть целые числа. И он мог тотчас прибавить также; что е² обладает тем же свойством, т. е. равенство ае⁴ + be² +c = 0 при тех же предположениях относительно a, b, с не может иметь места.
Но уже давно у математиков составилось убеждение, что числа е и π вообще не могут быть корнями алгебраических уравнений с рациональными коэфициентами, точно так же, как верили в иррациональность числа π гораздо раньше, чем она была строгодоказана.

После этого важного открытия Лиувилля является возможность разделения чисел на алгебраические и трансцендентные, между тем как раньше можно было говорить лишь о рациональных и иррациональных. Под алгебраическим числом в настоящее время, по терминологии, введенной Кронекером, понимают всякое число х, являющееся корнам какого-нибудь алгебраического уравнения вида:

где все коэфициенты с рациональны; коэфициент при высшей степени χ всегда предполагается рзвным единице. Если сверх того вcе эти коэфициенты суть целые числа, то χ называется целым алгебраическим числом. Трансцендентным числом называется всякое неалгебраическое число. Таким образом, теперь предстояло решить вопрос, являются ли е и π алгебраическими числами или трансцендентными.

Возможность квадратуры круга зависит от того, возможно ли при помощи только циркуля и линейки по данному отрезку d получить отрезок πd. Принимая для простоты d за единицу длины, мы видим, что задача сводится к построению отрезка, содержащего π единиц длины. Так как после выбора единицы длины всякому числу χ соответствует вполне определенный отрезок(содержащий χ единиц), и, наоборот, всякому отрезку(содержащему χ единиц) соответствует вполне определенное число х, то для краткости мы можем говорить о построении числа х, подразумевая под этим построение отрезка, содержащего χ единиц.
Из планиметрии известно, что если коэфициенты квадратного уравнения могут быть построены, то и корни квадратного уравнения могут также построены, причем под словом „построение* всегда подразумевается „построение при помощи циркуля и линейки". На этом основании, в частности, могут быть построены корни квадратного уравнения c рациональными коэфициентами, например с коэффициентом, равным корню из двух. Если назовем на время корни таких уравнений иррациональностями первого рода, то увидим, что могут быть построены также и корни таких квадратных уравнений, которых коэфициенты содержат иррациональности лишь первого рода, потому что коэфициенты такого квадратного уравнения могут быть построены. Называя для краткости корни этих последних уравнений иррациональностями второго рода, мы приходим к заключению, что могут быть также построены корни каждого квадратного уравнения, коэфициенты которого содержат иррациональности лишь первого и второго рода, и т. д.
Пусть будет теперь дана целая цепь квадратных уравнений, обладающих следующим свойством: коэфициенты первого уравнения суть рациональные числа, между тем как коэфициенты каждого последующего уравнения содержат лишь такие иррациональности, которые получаются при решении предыдущих уравнений. В таком случае корни каждого из этих уравнений, а следовательно, и последнего из них могут быть последовательно построены. Таким образом мы видим, что для того чтобы некоторое число могло быть построено, достаточно, чтобы оно представляло корень квадратного уравнения, являющегося последним звеном цепи квадратных уравнений указанного только что рода.
Но это условие не только достаточно, оно также необходимо для того, чтобы число могло быть построено. Действительно, так как каждое построение есть не что иное, как некоторая комбинация двух элементарных задач: провести прямую линию через две данные точки и описать около данной точки окружность данным радиусом, и так как, с другой стороны, прямые линии и круги выражаются аналитически уравнениями первой и второй степени, то построение при помощи и линейк и циркуля аналитически может быть выражено цепью квадратных уравнений (так как линейные уравнения можно рассматривать как частый случай квадратных). Так как, далее, в каждой элементарной задаче, входящей в состав построения, могут быть употреблены лишь такие элементы, которые построены при помощи решенных раньше элементарных задач, то в каждом из встречающихся квадратных уравнений коэфициенты будут содержать лишь такие иррациональности, которые получены из решения предыдущих квадратных уравнений. Отсюда следует, что всякое число, могущее быть построенным при помощи циркуля и линейки, может быть представлено как корень квадратного уравнения, являющегося последним звеном цепи квадратных уравнений указанного выше вида.
Но, с другой стороны, такая цепь квадратных уравнений всегда может быть заменена одним единственным алгебраическим уравнением с рациональными коэфициентами таким образом, что иррациональности, входящие в последнее уравнение и являющиеся корнями предыдущих уравнений, будут исключены при помощи этих последних. Таким образоммы приходим к следующему, существенному для задачи о квадратуре круга, выводу:
Для того чтобы некоторое число могло быть построено при помощи циркуля и линейки, необходимо и достаточно, чтобы оно было корнем известного алгебраического уравнения с рациональными коэфициентами, равнозначного цепи квадратных уравнений указанного выше вида.
Благодаря этой теореме связь вопроса о возможности квадратуры круга с вопросом о том, трансцендентное ли или алгебраическое число π, получает правильное освещение. Для того чтобы квадратура круга была выполнима, не только нужно, следовательно, чтобы π было вообще алгебраическим числом, но необходимо, чтобы оно было корнем такого алгебраического уравнения, которое было бы разрешимо при помощи квадратных корней, т. е. нужно, чтоб само число π могло быть получено путем извлечения квадратных корней. Правда, формула Вьеты дает выражения для π при помощи квадратных корней, но операция извлечения корня встречается в ней бесконечно часто, между тем как корень алгебраического уравнения указанного вида должен, очевидно, выражаться через конечное число корней. Формула Вьеты скорее, следовательно, могла привести к догадке, что число π не обладает свойствами, необходимыми для возможности квадратуры круга. Как бы то ни было, во всяком случае невозможность квадратуры круга была бы вне всяких сомнений, если бы оказалось, что число π есть вообще не алгебраическое, а трансцендентное число.

Разрешением основного вопроса о том, являются ли числа е и π алгебраическими или трансцендентными, наука обязана математикам Эрмиту и Линдеману. Прежде всего в 1873 г. Эрмит доказал трансцендентность основания натуральных логарифмов, т. е.обнаружил невозможность равенства вида:

где x1, x2, ... , N1, N2 ... - целые числа.
Исходя из этой основной работы, а именно пользуясь зависимостями между известными определенными интегралами, которыми пользовался Эрмит, Линдеман в 1882 г. решил, наконец, тысячелетнюю задачу о квадратуре круга, доказав трансцендентность числа π. Этот результат был получен из предложения, которое можно рассматривать как обобщение первой из теорем Ламберта, указанных выше. Это предложение заключается в следующем:
Если z есть корень какого-нибудь неприводимого алгебраического уравнения с целыми вещественными или комплексными коэфициентами, то e^z не может быть рациональным числом.
Таким образом, окончательно установлено, что квадратура круга геометрически невыполнима.
Но теорема Линдемана о трансцендентности числа π разрешает вопрос о квадратуре круга еще в бесконечно более широком смысле, чем этого требовала первоначальная постановка вопроса: квадратура круга невозможна не только при помощи циркуля и линейки, она невыполнима даже и при том условии, если для построения мы будем пользоваться какими угодно алгебраическими кривыми и поверхностями. Действительно, построение с помощью этих совершенно общих вспомогательных средств хотя и не приводит, как раньше, к цепи квадратных уравнений, все же приводит к цепи алгебраических уравнений, поэтому число, которое могло бы быть построено при их посредстве, непременно должно быть алгебраическим. Следовательно, для трансцендентного числа π эта возможность исключена.
В 1885 г. Вейерштрасс дал новое более общее доказательство теоремы Линдемана: Если x1, x2 ... суть отличные друг от друга алгебраические числа, a X1, X2, ... — отличные от нуля алгебраические числа, то между ними не может существовать зависимости:

Эта теорема заключает, как частные случаи, трансцендентность е и π одновременно.
Исследования Линдемана дали окончательное решение задачи, замечательной не только своим древним происхождением, но также ролью, сыгранною ею в истории математики. Будучи первоначально чисто геометрической задачей сравнительно второстепенного значения, задача о квадратуре круга в течение веков превратилась в чрезвычайно интересную арифметическую задачу. На ней отразились все наиболее важные изменения, которые постепенно испытывали математические воззрения и методы; она изменяла вместе с ними и при помощи их свою форму, пока, наконец, постановка вопроса не стала столь ясной и точной, что мог получиться определенный ответ. Задача о квадратуре круга участвовала во всех этих изменениях отнюдь не пассивно, но именно вследствие того, что она постоянно и притом в изменяющемся виде привлекала внимание математиков, она оказала сильное влияние на развитие математических наук и в особенности тех теорий, которые привели к решению вопроса.

В следующей книге О квадратуре круга вы найдете 4 классических труда:
Архимед - "Измерение круга",
Гюйгенс - "О найденной величине круга",
Ламберт - "Предварительные сведения для ищущих квадратуру и спрямление круга",
Лежандр - "Доказательство того, что отношение длины окружности к диаметру и квадрат его суть иррациональные числа"

В качестве приложения привожу программу на питоне, которая менее чем за минуту подсчитывает число пи с точностью до 1000-го знака после запятой. В основу положен далеко не самый быстрый алгоритм, описанный еще Антифонтом: сторона квадрата, вписанного в окружность с единичным радиусом, равна корню из двух. Если удвоить число сторон до 8, то сторона будет равна более сложному выражению: нужно вычесть корень квадратный из разницы между двойкой и все тем же корнем из двух. И т.д. для для 16,32, 64 .... - угольников. Этот алгоритм формально можно записать так:

 from decimal import *
 getcontext().prec = 2000
 radical = 0
 a=4
 for i in range(1,2000):
   if i==1:
     radical = Decimal(2).sqrt()
   else :
     _radical = Decimal(2 + radical).sqrt()
     res = Decimal(2 - _radical).sqrt()
     _res = res * a      
     print "i=%s  π=%s\n" % (i, res * a )  
     radical = _radical
   a = a * 2
 

 k1 = (Decimal(2).sqrt() * 2) 
 k2 = Decimal(k1/9801)
 #print k2
 f5 = Decimal(0) 
 
 for i in range(0,1000):
    f1  = Decimal(math.factorial(4*i))
    f2  = Decimal(1103 + 26390 * i)
    ff1 = Decimal(f1 * f2)
    f3  = Decimal((math.factorial(i))**4)
    f4  = Decimal(396**(4*i))
    ff3 = Decimal(f3 * f4)
    ff4 = Decimal(ff1 / ff3)
    f5  = f5 + ff4 
 
 f5 = f5 * k2
   
 print 1/f5
 

 k1 = Decimal(10005).sqrt()
 k2 = 426880 * k1
 k3 = Decimal(1/(k2))
 
 s = 0 
 
 for i in range(0,100):
    f1  = Decimal(math.factorial(6*i))
    f2  = Decimal(13591409 + 545140134*i)
    f3  = f1 * f2
    f4  = Decimal(math.factorial(3*i))
    f5  = Decimal((math.factorial(i))**3)
    f6  = Decimal((-640320)**(3*i))
    f7  = f4 * f5 * f6
    f8  = f3 / f7
    s   = s + f8
 
 s = s * k3
 
 print Decimal(1 / s)