25.01.2014
Архимед
Биография
По сведениям историков, Архимед прожил 75 лет.
Дата рождения Архимеда определяется как 287 год до н. э, дата смерти общеизвестна - дата падения Сиракуз в 212 год до н.э.
Отцом Архимеда, как он сам говорит в своем «Псаммите», был астроном Фидий, состоявший в каких-то родственных отношениях с
правителем Гиероном Сиракузским. Общественное положение позволяло Архимеду получить лучшее на то время образование.
Он совершил морское путешествие с юга Италии из Сиракуз на египетское побережье, в Александрию.
Крупнейшие астрономы и математики того времени — Эратосфен и Конон — жили в Александрии.
Ученые, к кругу которых примкнул Архимед, группировались вокруг Александрийского Музея.
С древнейших времен греческие монархи имели обычай собирать при своем дворе виднейших поэтов и ученых.
Идея, легшая в основание организации Музея, была весьма гуманной: собрать в Александрии крупных,
зарекомендовавших себя ученых, освободить их от всяких жизненных забот,
предоставить им максимальный досуг и дать им, таким образом, возможность заниматься, чем
каждый желает, без всякого давления с чьей бы то ни было стороны. Знаменитые ученые, собранные
с различных концов мира, жили при храме Муз на полном иждивении царя; они обедали
совместно, и эти обеды сопровождались научными беседами на самые различные темы.
В период пребывания Архимеда в Александрии его чрезвычайно занимали вопросы механики.
Будучи еще в Египте он изобрел или вернее, усовершенствовал «улитку» (κοχλίας) — замечательную
машину для поливки полей, имевшую большое хозяйственное значение в Египте, где дождей
почти не бывает и где все сельское хозяйство основано на искусственном орошении.
Прибыв в Александрию, Архимед набросился на всю литературу по
теоретической механике, столь близкой его научным устремлениям. Он пришел к выводу, что
положения и приемы механики можно применить и для решения тех чисто геометрических
задач, которые не могут быть решены способами элементарной геометрии, но для этого необходимо
перестроить механику в точную, строго математическую науку, теоремы которой были
бы логическим выводом из немногих вполне очевидных предпосылок. И действительно, наиболее
оригинальным и дававшим удивительные результаты приемом Архимеда при решении
геометрических задач, требующих инфинитезимальных(бесконечно малых) выкладок, было применение для
их решения закона рычага.
Дело в том, что в изученной Архимедом математической литературе — у
Евдокса, Менехма, Аристея, Евклида и др. — Архимед ни следов инфинитезимальной процедуры не нашел;
она была начисто вытравлена, и Архимед не знал даже об ее существовании.
Но, изучая низкую, прикладную науку — механику, он встречался с этой процедурой на каждом шагу и видел,
к каким блестящим открытиям новых фактов механика приводит — прежде
всего при нахождении центров тяжести. Он решил поэтому перенести методы механики в геометрию,
не отдавая себе ясного отчета в том, что дело здесь не в механике, а в применяемой ею
чисто математической инфинитезимальной процедуре. «Ненаучность» же самой этой процедуры
нисколько не пугала Архимеда, ибо основательно пройденная им евклидовская школа научила
его в совершенстве искусству превращать в строго математическое доказательство любой
вывод, полученный «без научного доказательства на основании недостаточно очевидных
предпосылок»; это делалось при помощи метода исчерпания (с применением reductio ad
absurdum).
Как применял Архимед принцип рычага к решению геометрических задач,
будет показано в этой статье ниже - в его письме в Эратосфену для решение задачи о нахождении площади параболического сегмента,
которое он здесь рассматривает лишь как предварительное, нуждающееся в подтверждении при помощи строгого доказательства
После Александрии Архимед вернулся в Сиракузы крупным ученым.
В Сиракузах ему как родственнику монарха было обеспечено блестящее общественное положение, достаток
и досуг, дававший возможность полностью посвятить себя научным занятиям.
Спокойной научной работе благоприятствовала внешняя обстановка; благодаря искусной внешней политике Гиерона,
Сиракузы наслаждались миром во время первой Пунической войны (264—241) и пользовались
всеми выгодами нейтрального, невоюющего государства; такое же спокойное и выгодное положение
занимали они и в промежутке между первой и второй Пуническими войнами.
Архимед имел обыкновение открытые им новые истины до их опубликования посылать для доказательства Конону,
крупнейшему из современных ему математиков. Об этом мы узнаем из написанного после смерти Конона письма Архимеда к Досифею,
молодому талантливому ученику Конона.
Архимед в самом раннем из своих геометрических сочинений, в сочинении «О квадратуре параболы»,
не довольствуется «механическим» доказательством теоремы о площади
параболического сегмента, а дает еще параллельное строгое геометрическое доказательство.
В более поздних же сочинениях, исключая лишь письмо к Эратосфену, «механические» доказательства
больше вовсе не встречаются, хотя из этого письма мы узнаем, что свои решения Архимед и в более позднее время
находил при помощи механики. Очевидно, он пришел к выводу,
что механический метод является недостаточно строгим, и поэтому при окончательной обработке
своих трудов устранил все его следы.
Архимед, наряду со старым методом исчерпания, применяет новое видоизменение старого приема Антифонта
; он не только вписывает в кривую, площадь сегмента которой он определяет, но и
описывает вокруг нее ступенчатую прямолинейную фигуру; затем он доказывает, что площадь
вписанной фигуры всегда меньше некоторой величины S (которая, как он заранее узнавал при
помощи «нестрогого» атомистического метода, равна площади искомого сегмента), а площадь
описанной — всегда больше той же величины S. Далее, он как бы сдвигает обе прямолинейные
фигуры так, чтобы они совпали между собой и с криволинейной фигурой, площадь которой он
определяет. Разумеется, он и этого прямо не делает и нигде не говорит, что эти прямолинейные
фигуры в пределе стремятся к криволинейной. Он вместо этого всего доказывает, что разность
между обеими прямолинейными фигурами может быть сделана меньше любой заданной величины, скажем, D.
Теперь стоит предположить, что площадь криволинейной фигуры больше S
на любую заданную величину D, и она, очевидно, окажется больше площади описанной прямолинейной фигуры;
стоит предположить, что площадь криволинейной фигуры меньше S на
D, и она, очевидно, окажется меньше площади вписанной прямолинейной фигуры, ибо вся
разница между площадями этих прямолинейных фигур меньше D. А если искомая площадь не
больше и не меньше S, то она, очевидно, равна S. Отметим, что Архимед не дает и этого доказательства
раз навсегда, а повторяет его снова и снова для каждого отдельного случая. Но во
всяком случае, как ни далек метод Архимеда от нынешней предельной процедуры, он вводил
сближающиеся между собой верхнюю и нижнюю границы и таким образом, правда, бессознательно,
подводил читателя к понятию предела. В этом его величайшая заслуга и значение.
В течение более двадцати лет, от 264 до 241 года, шла Первая Пуническая война, в которой Гиерон принимал участие,
выступив в самом начале на стороне карфагенян.
В это время Архимед работал преимущественно по своей первой специальности, а именно военного инженера:
занимался конструированием военных машин, строительством укреплений и т. п.
Конечно, и в это время чисто теоретическими исследованиями Архимед не пренебрегал,
но эти исследования носили несколько специальный характер — это были работы в области механики.
«Квадратура параболы» была первой дошедшей до нас работой Архимеда, но не была первой его работой вообще.
В ней Архимед пользуется понятием центра тяжести, условиями равновесия рычага и ссылается на свои прежние работы,
заглавия которых носят ярко выраженный механический характер.
В своих первых работах по механике Архимед дает следующее определение для центра тяжести - со слов Паппа:
«Центром тяжести каждого тела является некоторая расположенная внутри его точка — такая, что если за нее мысленно подвесить тело,
то оно остается в покое и сохраняет первоначальное положение».
В древности, как мы узнаем из комментария Прокла к Евклиду, механика делилась на
следующие разделы:
1. ργανοποική — искусство изготовления машин, частью которого является βελοποιικά
— искусство изготовления военных машин.
2. Изготовление сфер, т. е. глобусов и моделей, изображавших движения небесных тел.
Этими разделами занимался всю жизнь Архимед.
3. θαυματοποιική — искусством изготовления механических игрушек
4. μηχανική - теория центров тяжести, рычага, параллелограмма сил и т. д.
Основные типы машин, изобретенные Архимедом:
1. Прежде всего катапульты, античные пушки, выбрасывавшие на большое расстояние свинец
и камни различной величины, от огромных глыб до небольших кусков;
2. Машины, снабженные подвесными бревнами, «клювами», содержавшими в особых желобах куски свинца и камня.
После того как эти «клювы» передвигались в нужное место, они опрокидывались
при помощи особых блоков и сбрасывали камни на врага.
3. Журавлиные клювы, которые при помощи особых механизмов захватывали носы вражеских кораблей,
приподнимали их и, сотрясая и раскачивая, приводили в негодное состояние.
Машины эти представляли собою комбинацию блока, винта и зубчатых колес; вероятно, также
были применены пружина и водяной двигатель.
Все это дорогостоящее оборудование заготовлялось Гиероном с помощью Архимеда
исподволь, в течение долгого промежутка между окончанием Первой пунической войны
(241 г.) и смертью Гиерона в 215 г.
Сиракузы пали перед Римом спустя пару лет после смерти Гиерона.
2 года римские войска во главе с Марцеллом не могли ничего поделать с защитой неприступных Сиракуз,
обороной которой руководил Архимед. Вот как описывает осаду Сиракуз Полибий:
Архимед со своей стороны соорудил машины, которые могли выбрасывать снаряды на любое желаемое расстояние.
Враги были еще далеко от города, когда Архимед
из своих больших дальнобойных метательных машин стал поражать их корабли таким множеством
тяжелых снарядов и стрел, что они никак не могли уберечься от них и оказались беспо-
мощными и бездеятельными. Когда Архимед замечал, что снаряды попадают слишком далеко,
за линию вражеских кораблей, он пускал в ход меньшие машины, соответственно нужному ему
расстоянию. Это вызывало такой ужас среди римлян, что они не в силах были двигаться вперед.
Поэтому Марцелл, не зная, что ему делать, был принужден вести свои корабли на приступ
ночью, без шума, незаметно для врага. Но когда они приблизились к берегу на расстояние выстрела,
Архимед применил другую заготовленную им военную хитрость против тех, которые
сражались с вражеских кораблей. По его приказу в стене, на высоте человеческого роста, были
просверлены многочисленные отверстия, имеющие приблизительно ширину ладони. За этими
амбразурами он поместил стрелков и метателей снарядов; они непрерывно обстреливали вражеский
флот и таким образом сводили на нет все усилия римских солдат. Таким способом, был
ли враг в отдалении, или он находился у самых стен города, Архимед не только препятствовал
осуществлению всех его планов, но и убивал большую часть нападающих. Лишь только римляне
начинали выставлять против города свои самбуки, тотчас же осажденные пускали в
ход свои машины, находившиеся внутри городских стен и остававшиеся до этих пор незаметными для врага.
Когда надо было пустить их в дело, они подымались над бастионами и высовывали
свои клювы далеко вперед от укреплений города. Одни несли на себе камни, весившие
не менее десяти талантов (1/4 тонны), другие — груды свинца. Как только самбуки приближались
к стенам, осажденные, ослабляя при помощи каната блоки, к которым клювы этих машин
были подвешены, поворачивали их вправо или влево — туда, где это было нужно; затем открывались задвижки,
и из клюва падал на самбуку камень, который разбивал не только машину,
но и корабль, на котором она стояла, подвергая находившихся на ней воинов величайшей
опасности. В распоряжении сиракузян были и другие машины; когда приближались вражеские
корабли, покрытые специальными плетенками для защиты от стрел, бросаемых через отверстия в стенах,
эти машины извергали камни такой величины, что находившиеся на носах ко-
раблей принуждены были спасаться бегством.
Кроме того, по приказу Архимеда, опускалась железная лапа, привязанная к цепи; этой
лапой машинист, управлявший клювом машины, точно рулем корабля, захватывал нос корабля
и затем опускал вниз другой конец машины, находившийся внутри городских стен. Он подымал
таким образом в воздух нос корабля и ставил корабль отвесно на корму, а затем закреплял
неподвижно основание машины, а лапа и цепь отделялись при помощи каната. Непосредственным
результатом этого было то, что корабли либо падали на бок, либо совершенно опрокидывались;
еще чаще (так как носы падали с большой высоты в море) корабли совершенно погружались
и наполнялись водой, к ужасу тех, которые на них находились. Марцелл оказался в
очень тяжелом положении; все его планы терпели крушение благодаря изобретениям Архимеда.
Потери римлян были огромны, а осажденные глумились над всеми их усилиями. Однако и
он, хотя и был сильно раздражен, позволял себе подшучивать над изобретениями великого
геометра: «Этот человек, — говорил он,— решил напоить наши корабли допьяна морской водой,
а наши самбуки он ударами палки высокомерно прогоняет с попойки, как недостойных его общества».
В конце концов римские войска ворвались в Сиракузы. Вот как Плутарх описывает смерть Архимеда:
« Этот философ находился во время взятия Сиракуз один в своем жилище, углубленный в рассмотрение каких-то
геометрических фигур. Будучи всем умом и чувствами погружен в эти размышления, он не обратил
внимания на шум и крики римлян, бежавших по всему городу, и даже не знал, что город уже в их власти.
Вдруг пред ним в его доме предстал римский солдат с требованием немедленно следовать за ним к Марцеллу.
Но Архимед отказался следовать за ним прежде чем не
закончит доказательства разбираемой им математической проблемы. Раздраженный римлянин
вытащил меч из ножен и убил его. По словам других, к Архимеду явился солдат с мечом в руке, чтобы его убить.
Но Архимед настойчиво просил его подождать одну минуту, чтобы задача, которой он занимался,
не осталась нерешенной; солдат, которому не было дела до его доказательства, пронзил его своим мечом.
Согласно третьему рассказу, Архимед уже шел сам к Марцеллу, неся в ящике математические инструменты — солнечные часы,
небесные глобусы и угломеры для измерения величины Солнца. Встретившие его солдаты решили, что в ящике
золото, и убили его, чтобы завладеть его сокровищами. Но, несмотря на все разногласия, все
историки согласны в том, что Марцелл был очень огорчен его смертью; к убийце он отнесся с отвращением, как к совершившему кощунство;
он разыскал родственников Архимеда и оказал им всяческое уважение».
Наследие Архимеда
Сам Архимед в своих трудах высоко отзывался о своих исторических учителях-предшественниках - Демокрите и Евдоксе.
В частности, Евдокс придумал способ получения кривых.
Если мы рассечем конус плоскостью, перпендикулярной его оси, то в сечении получится окружность.
Если мы наклоним секущую плоскость так, чтобы она пересекала все образующие конуса, то мы в сечении получим вторую кривую —
так называемый эллипс.
Если мы, продолжая наклонять секущую плоскость, сделаем ее параллельной самой дальней образующей,
то в сечении получится новая кривая — парабола.
Наконец, если мы будем еще дольше наклонять секущую плоскость, то получится еще одна кривая — так называемая гипербола.
Хронология сохранившихся произведениях Архимеда следующая:
Прежде всего идут пять посланий к Досифею. Самим ранним из них является «Квадратура параболы»,
говорящая об определении площади параболического сегмента. Затем идут два послания, составляющие две книги сочинения
«О шаре и цилиндре», в которых Архимед определяет поверхность и объем шара и его частей.
После этого идут сочинения «О спиралях» и «О коноидах исфероидах».
В первом Архимед рассматривает основные свойства некоторой кривой, так называемой Архимедовой спирали,
придуманной им для построения прямой, длина которой равнялась бы окружности некоторого круга;
во втором Архимед определяет объемы сегментов эллипсоида, гиперболоида и параболоида вращения.
Последовательность этих сочинений устанавливается совершенно точно на основании написанных Архимедом введений к этим книгам.
Мы даже знаем, что по первоначальному плану Архимеда книга «О спиралях» должна была стоять последней в этом ряду,
и только трудности, встретившиеся ему во время работы над «Коноидами», заставили задержать выпуск этой книги; она вышла самой последней.
Затем идет сочинение «О равновесии плоских фигур», в котором решается задача об определении центра тяжести параболического сегмента.
Вопросы определения центров тяжести сегментов шара, эллипсоида, гиперболоида и параболоида вращения рассматриваются
в «Эфодике», который, таким образом, должен быть написанным после всех посланий к Досифею.
Далее мы имеем две книги «О плавающих телах»
Особняком стоят две книги: «Измерение круга» и «Псаммит».
Первая, дошедшая до нас в искалеченном виде, посвящена числовому определению длины окружности
(именно в ней и устанавливается архимедово значение числа пи = 22/7,
т. е. в ней разбирается задача, геометрическое решение которой уже было дано Архимедом вкниге «О спиралях».
Что касается «Псаммита», или «Исчисления песка», в котором разбирается вопрос о числе песчинок, содержащихся в объеме всего видимого мира.
Дошедшие до нас и создавшие Архимеду славу математические произведения написаны были им в возрасте приблизительно 45—50 лет —
факт в истории математических наук необычайный: математические способности в человеке обычно пробуждаются очень рано.
Сочинения Архимеда в том виде, как они дошли до нас в рукописях, не могут не представлять больших трудностей для чтения.
Одни из этих трудностей существуют только для нас, другие — и для античного читателя.
Нас прежде всего затрудняет «геометрическая алгебра» Архимеда, отсутствие удобной и привычной для
нас алгебраической символики; к этому присоединяется еще то, что в ряде случаев Архимед
получал свои решения атомистическим способом, а затем переводил каждый шаг этого решения на язык метода исчерпания.
Поэтому за отсутствием руководящей нити нам чрезвычайно
трудно следить за ходом мыслей автора. Нам необходимо все его выкладки переводить на язык
нынешней алгебры; от этого решение становится не только более наглядным и компактным,
но, применяя обозначения x, y для переменных, a, b, c... для постоянных, a1 и a2, b1 и b2 для
симметричных величин, мы получаем возможность легче понять, к какой цели стремится Архимед.
Будучи гением и обращаясь в своих сочинениях к специалистам-математикам, Архимед предполагает
и в читателе наличие такой же математической интуиции, как та, которой он сам обладал; поэтому он
более элементарные звенья своей цепи умозаключений часто просто опускает, иногда
даже позволяет себе ссылаться на простые теоремы, которые будут им доказаны только в
дальнейшей части книги, и т. д. Это не могло не затруднять даже античного читателя-специалиста;
поэтому комментирование и толкование Архимеда со вставкой недостающих
звеньев на основании собственных догадок комментатора началось уже вскоре после его смерти.
Далее идет краткое описание основных работ Архимеда.
Квадратура параболы
Самое раннее из дошедших до нас полностью произведений Архимеда представляет первое послание к Досифею, ученику Конона,
известное под названием «Квадратура параболы».
Это послание представляет соединение двух вполне самостоятельных работ, посвященных решению одной и той же задачи —
нахождению площади параболического сегмента, отсеченного прямой, перпендикулярной к оси параболы.
В первой работе задача решается механическим методом, представляющим собственное изобретение Архимеда,
во второй Архимед дает чисто геометрическое решение задачи методом Евдокса.
Пусть требуется определить площадь параболического сегмента АОС, имеющего основание АС = 2*l и высоту OF = h,
если соотношение между отрезками х и у для параболы определяется уравнением:
y2 = 2px
или
x = y2 * (1/2p) = ay2
Архимед определяет площадь сегмента АОС, мы для большей простоты определим его методом площадь сегмента АОВ,
заключенного между прямой Оу, дугой ОА и прямой АВ. Если ОВ = у = l, то,согласно основному уравнению,
отрезок х = ВА будет равняться al2.
Вообразим равноплечий рычаг DOB, длины плеч которого равны l, подпертый в своей середине O.
На плече ОВ расположим, как показано на рисунке, определяемую площадь АОВ , которую будем считать тяжелой.
Разобьем ее на ряд весьма тонких полосок шириной Δу, одна из которых ab, находящаяся на расстоянии у от точки О,
изображена на рисунке. Площадь ΔS этой полоски равна:
ΔS = хΔу = ay2Δу;
Будем считать ее площадь равной весу.
Перенесем эту полоску на конец В рычага и постараемся уравновесить ее полоской, помещенной на левом плече рычага на таком же расстоянии
у от точки О. Произведение силы на плечо, или, как говорят, момент для площадки ΔS, помещенной на конце В,
взятый относительно опорной точки О, будет:
ΔS = aly2Δy
Для того чтобы уравновесить эту площадку на плече у,
надо в соответствующей точке d приложить полоску, площадь которой будет alyΔy,
а высота de = aly. Если мы соберем все полоски ΔS на конце В рычага, уравновешивая каждую из них на левом плече,
как было сделано выше, то высоты всех таких полосок расположатся по прямой ОЕ (так как эти высоты пропорциональны расстояниям
0d = у от точки О) и все эти полоски сложатся в площадь треугольника ОDE,
основание OD которого равняется l, а высота DE получится, если в формуле для высоты aly мы положим у = l;
таким образом:
DE = al2
Теперь мы видим, что вся площадь S сегмента ОАВ, сосредоточенная в точке В, уравновешивается площадью треугольника ODE,
расположенного на левом плече OD рычага; величина этой площади
1/2 * OD • DE = 1/2 * al2l,
а расстояние центра тяжести этой площади от точки О, измеренное по горизонтали, будет 2/3 * OD = 2/3 * l.
Составляя уравнение равновесия относительно опорной точки О рычага, будем иметь:
S * l = ½al3 * 2/3 * l
Из полученного уравнения мы видим:
S = 1/3 * al3 = 1/3 * l * al2
или
S = 1/3 * OB * AB
После этого уже нетрудно видеть, что площадь расматриваемого Архимедом сегмента АОС равна 2/3 площади прямоугольника ABCD.
О шаре и цилиндре
Основное содержание второго послания к Досифею (первой книги «О шаре и цилиндре») является определение поверхности и объема шара.
Соответствующий метод изложен им самим в послании к Эратосфену, так называемом «Эфодике», откуда мы и заимствуем последующее изложение.
Пусть ABCD будет большой круг шара, а АС и BD — два взаимно-перпендикулярных диаметра последнего.
Через конец А диаметра АС и окружность большого круга с диаметром BD проводим коническую поверхность ABEFD до пересечения с плоскостью,
проведенной через другой конец С диаметра АС перпендикулярно этому последнему.
На получившемся круге с диаметром EF строим цилиндр EFGL, высота которого равна АС.
Затем откладываем АН = АС и рассматриваем равноплечий рычаг НАС с точкой опоры в А.
Через какую-нибудь точку S диаметра АС проводим перпендикулярную ему плоскость MN;
она пересечет цилиндр FL по окружности с диаметром MN, шар — по окружности диаметром РО и конус — по окружности с диаметром QR.
Так как MS = АС и QS — AS, то мы можем написать:
MS*SQ = AC*AS = AP2
Затем
АР2 = AS2 + SP2 = SP2 + SQ2
Далее, поскольку АН = АС, то:
АН / AS = АС / AS = MS / SQ = MS2 / (MS * SQ),
или согласно вышенаписанному:
AH / AS = MS2 / (SP2 + SQ2).
Если числитель и знаменатель правой части мы помножим на число пи, то получится:
AH / AS = πMS2 / (πSP2 + πSQ2)
Это уравнение мы можем рассматривать как уравнение моментов относительно опорной точки А,
выражающее, что помещенный в S круг с диаметром MN уравновешивается двумя кругами на диаметрах ОР и RQ,
подвешенными в точке H.
Так как то же самое можно сказать относительно кругов, получающихся в сечениях, проведенных через различные точки диаметра АС
перпендикулярно ему, то мы приходим к выводу, что помещенные в H все круги с диаметрами типа ОР, т. е. шар ABCD вместе
со всеми кругами с диаметрами типа RQ, т. е. конусом AEF, уравновесят остающиеся на своих местах все круги с диаметрами MN,
т. е. цилиндр EFGL, ось которого совпадает с плечом АС рычага.
Поскольку центр тяжести цилиндра EFGL находится в центре шара К, то это значит, что конус AEL и шар ABCD,
помещенные в точке Н, уравновешивают цилиндр EFL, вес которого сосредоточен в точке К:
(конус AEF + шар ABCD) * АН = цилиндр FELG * AK.
Так как АН = 2 * АК и конус AEF составляет одну треть цилиндра EFLG, то мы будем иметь:
2 * (конус AEF + шар ABCD) = 3 конуса AEF
откуда получается, что два шара ABCD равняются по объему одному конусу AEF.
Поскольку же АС = 2 * АК и, следовательно, конус AEF в восемь раз больше конуса,
основание которого равно большому кругу BD шара ABCD, то получается, что объем шара ABCD равняется
четырем объемам конуса ABD. Таким образом, если через R мы обозначим радиус шара, то объем V шара будет:
V = 4 * 1/3 * πR2*R = 4/3 * πR3
так как высота АК конуса ABD и радиус KD егооснования равняются радиусу R шара ABCD.
После этого Архимед указывает, что поскольку шар в четыре раза больше конуса,
основание которого равно большому кругу шара, а высота — радиусу последнего, то можно считать,
что поверхность шара будет в четыре раза больше площади его большого круга, опираясь на аналогию с кругом,
площадь которого в два раза больше площади треугольника, основание которого равно
длине окружности круга, а высота — радиусу последнего.
Строгий математический вывод, который дал Архимед, уже по своей структуре несколько отличается от того,
который он дал в «Квадратуре параболы». Основная его идея заключается теперь в следующем.
Определяемую величину S, в нашем случае поверхность шара, он заключает между двумя последовательностями величин
(в нашем случае боковыми поверхностями ряда усеченных конусов, вписанных и описанных вокруг шара),
из которых одни (суммы боковых поверхностей вписанных конусов) все время возрастают, а другие
(суммы поверхностей описанных) все время убывают.
Пусть при заданном числе n (количество отдельных конусов, из боковых поверхностей которых составляются указанные суммы)
величина вписанной поверхности будет Аn,а описанной Вn.
После этого доказывается, что отношение Вn к Аn при подходящем выборе может быть сделано меньше отношения
большей из двух произвольно выбранных величии к меньшей. Затем определяется некоторая величина К,
при любом n удовлетворяющая неравенству:
Аn < K < Bn
после чего утверждается, чгго определяемая величина S равняется этой К.
О спиралях
Здесь Архимед вводит еще одну кривую, получающуюся в результате движения, а именно так называемую Архимедову спираль.
Представим себе, что вокруг точки О в плоскости чертежа вращается прямая с постоянной угловой скоростью,
т. е.поворачиваясь в равные промежутки времени на одинаковые углы;
при вращении прямая ОА будет занимать ряд последовательных положений:
ОА1, ОА2, ОA3, ОА4, OA5 и т. д.
По этой прямой тоже с постоянной скоростью движется выходящая из О точка М,
расстояния которой ОМ1, ОМ2, ОМ2 и т. д. возрастают пропорционально соответствующим временам.
Тогда точка М в своем движении по плоскости чертежа опишет на ней некоторую кривую,
которую мы и называем архимедовой спиралью (сам Архимед называл ее просто спиралью, или,
еще точнее, если перевести на русский язык употребленный имтермин, «улиткой»).
Нетрудно догадаться, почему Архимед и давший ему эту тему Конон заинтересовались этой кривой.
Дело шло о решении одной из великих задач древности — нахождении квадратуры круга,
или, точнее, построении прямой, длина которой была бы равна длине окружности некоторого круга.
И эту задачу Архимед решил при помощи некоторых механических соображений,
относящихся в данном случае уже не к статике — учению о равновесии,
а к кинематике — геометрическому учению о движении.
Если несколько модернизировать рассуждения Архимеда, то основная его идея заключается в следующем.
Направление скорости точки, описывающей некоторую кривую, или, как говорят, траекторию,
определяется направлением касательной к этой траектории.
Скорость точки М в ее движении по плоскости чертежа складывается из относительной скорости
u по прямой ОА и переносной скорости вместе с этой прямой;
если через w обозначить угловую скорость вращения прямой ОА,
а через г расстояние ОМ точней от еачала О,
то переносная скорость w будет направлена перпендикулярно прямой ОА в сторону ее вращения и равна wr.
Так как правило сложения скоростей в форме параллелограмма было известно уже в эпоху Аристотеля
(оно содержится в приписываемых ему «Механических проблемах»),
то Архимед легко получает направление касательной к спирали.
Дальнейшее рассуждение идет так.
Пусть ОВМ будет дуга спирали, которую описала вышедшая из О точка за время полного оборота прямой ОА.
В положении М движущаяся по спирали точка имеет две скорости — относительную u и переносную w = wr,
где г представляет отрезок ОМ.
Сложив эти скорости, мы получим направление абсолютной скорости v и вместе с тем направление касательной МК кспирали.
За время полного оборота прямой ОА точка М. вышедшая из О, прошла путь ОМ = г со скоростью u,
а соответствующая точка М прямой в равномерном движении со скоростью w =wг описала окружность MLNP радиуса г.
Поскольку проходимые равномерным движением пути пропорциональны соответствующим скоростям, то мы можем написать:
Дуга MGNPM / OM = w / u
В точке О поставим перпендикуляр ОР к прямой ОМ и продолжим его до пересечения в точке К с касательной МК к спирали.
Так как треугольник ОМК подобен треугольнику Mvw, то, сравнивая отношения сходственных сторон, получаем:
OK / OM = w / u
Сопоставив это с предыдущей пропорцией, мы приходим к выводу, что длина прямой ОК будет равна длине окружности MLNPM.
О коноидах и сфероидах
Здесь рассматриваются объемы сегментов, получаемых при рассечении плоскостью тел, образующихся при вращении вокруг оси эллипса,
параболы или гиперболы. В первом случае получается эллипсоид вращения, который Архимед называет сфероидом,
а в двух последних — параболоид и гиперболоид вращения, называемые Архимедом коноидами.
Среди доказанных теорем нужно отметить следующую:
Пусть мы имеем коноид, полученный в результате вращения вокруг своей оси параболы АСВ .
Пересечем его двумя плоскостями АВ и A1B1 так,
чтобы проведенные через середины О и O1 прямых АВ и A1B1 параллельно оси параболы отрезки ОС и
01С1 были равны. В таком случае объемы сегментов АСВ и A1C1B1 параболоида тоже будут равны.
О плавающих телах
В первой книге Архимед доказывает, что при равновесии свободная часть поверхности жидкости является частью шаровой поверхности,
центр которой совпадает с центром Земли. Затем формулируется закон Архимеда и разбираются условия равновесия шарового сегмента,
погруженного в жидкость, причем свободная поверхность жидкости предполагается сферической.
Разбираются два случая, а именно, когда сегмент плавает, имея плоское основание
над поверхностью жидкости, и когда он плавает с основанием, погруженным в жидкость.
Вторая книга начинается с предложения, что у тела, более легкого, чем жидкость, и плавающего на поверхности жидкости,
объем погруженной части так относится к объему всего тела (последнее молчаливо предполагается однородным),
как плотность тела к плотности жидкости.
После этого идет определение положений равновесия плавающего на поверхности жидкости сегмента параболоида вращения,
причем рассматриваются только положения равновесия, когда сегмент плавает, имея плоскость основания или целиком погруженной
в жидкость, или полностью находящейся над поверхностью жидкости.
При этом Архимед свободную поверхность в жидкости считает уже плоской.
В рассказе Полибия говорится, что Архимед при помощи лап захватывал подплывающие корабли римлян и затем машинами подтягивал их вверх.
В экспериментах с такого рода машинами и хотя бы даже в очень приблизительных их расчетах Архимед мог найти почву для установления
и разработки своего закона, в особенности, если считать, что все приготовления к обороне Сиракуз были им сделаны заблаговременно.
Об измерении круга
Первая теорема в этом труде Архимеда гласит следующее - буквально:
Всякий круг равен прямоугольному треугольнику, у которого одна из сторон, прилежащих к прямому углу,
равна радиусу круга, а другая его окружности.
Пусть будет круг ABCD и такой, как сказано, треугольник Е. Я «говорю, что он равен треугольнику Е.
Действительно, пусть, если возможно, круг будет больше. Впиши в него квадрат АС и разделяй дуги пополам,
и пусть, наконец, оставшиеся отрезки будут меньше избытка круга над треугольником;
тогда полученная прямолинейная фигура будет также больше треугольника.
Возьми центр N и проведи перпендикуляр NО. Итак, N0 меньше одной из сторон треугольника Е,
а очертание прямолинейной фигуры меньше другой стороны, ибо оно меньше окружности круга;
поэтому прямолинейная фигура будет меньше треугольника, что невозможно.
Но тогда, если возможно, пусть круг будет меньше треугольника Е.
Опиши квадрат, раздели дуги пополам и через точки сечения проведи касательные.
Угол PAR прямой, поэтому PR больше MR, ибо MR равна RA, и потому треугольник RPQ больше половины фигуры PFAM.
Пусть останутся такие, как QFA, отрезки, которые будут меньше избытка треугольника Е над кругом ABCD.
Следовательно, описанная прямолинейная фигура будет также меньше треугольника Е, что невозможно,
ибо она больше, потому что NA равна высоте треугольника, а очертание фигуры больше его основания.
Таким образом, круг равен треугольнику Е».
О равновесии плоских фигур
Первая книга «О равновесии плоских фигур» содержит математическое доказательство закона равновесия рычага и определение центра тяжести
треугольника, параллелограмма и трапеции.
Вторая книга посвящена определению центра тяжести параболического сегмента, а также трапеции,
боковыми сторонами которой служат дуги параболы.
Представим себе однородный стержень АВ длины 2(а + b), подвешенный горизонтально за свою середину O.
К нему при помощи бесчисленного множества ниточек подвешен другой однородный стержень CD той же длины;
будем для простоты считать, что на единицу длины этого стержня приходится единица веса;
тогда вес этого стержня численно будет равен 2(а + Ь).
Вся наша система будет, очевидно, находиться в равновесии; это равновесие не нарушится,
если мы стержень CD разрежем в сечении EF так, что обе получившиеся части будут соответственно иметь длины 2а и 2Ь.
Равновесие каждого из отрезков не нарушится также, если мына части ED оборвем все ниточки, кроме одной LL1
приходящейся против середины длины этого отрезка, а на части СЕ оборвем все ниточки, кроме средней LL1.
В таком случае мь можем рассматривать закрепленныйв в точке О стержень АВ как находящийся в равновесии под действием двух сил,
одна из которых 2а приложенав точке К, находящейся на расстоянии b от опоры О, а другая 2b приложена в точке L на расстоянии
ОL = а от опоры О. Таким образом, сила 2а на плече уравновешивается силой 2b на плече а; отсюда следует, что рычаг KL,
если его рассматривать как не имеющий веса (последний уравновешивается сопротивлением опоры О),
будет находиться в равновесии, если приложенные на его концах К и L силы будут обратно пропорциональныдлинам соответствующих плеч.
Во второй книге «Равновесия плоских фигур» Архимед определяет положение центра тяжести параболического сегмента.
Все вычисление может быть легко проведено, если мы знаем существующее для параболы соотношение между отрезком х (абсциссой)
оси параболы и перпендикулярным к последней, доходящим до кривой отрезком у (так называемой ординатой).
Это соотношение имеет вид:
y2 = 2px
Если в эллипсе мы проведем ряд параллельных хорд, то их середины будут лежать на одной прямой,проходящей через центр О эллипса.
в этом центре будут пересекаться все диаметры эллипса. Так как параболу мы можем рассматривать как эллипс,
центр которого удален в бесконечность (при непрерывном вращении плоскости, образующей в сечении конуса эллипс,
последний переходит в параболу, когда секущая плоскость становится параллельной образующей конуса),
то все диаметры парабольи (линии, на которых лежат середины параллельных одному направлению хорд)
будут пересекаться в бесконечно удаленном центре, иными словами,
будут параллельны между собой.
Если к этому добавить еще найденное Архимедом предложение, что площадь параболического сегмента составляет две трети площади
прямоугольника, построенного на основании и высоте параболического сегмента,
то в нашем распоряжении будет все необходимое для доказательства интересующего нас предложения.
Пусть АОВ будет сегмент, центр тяжести которого предлагается определить.
Если О будет вершима параболы, а С — середина хорды АВ, то центр тяжести параболического сегмента будет находиться где-то
на диаметре ОС (на последнем лежат середины всех параллельных АВ хорд, из которых мы можем рассматривать составленным сегмент АОВ параболы).
Соединим вершину О параболы с концами А и В хорды; так как площадь треугольника АОВ составляет половину площади прямоугольника
с основанием АВ и высотой ОС, а площадь параболического сегмента — две трети того же прямоугольника,
то площадь параболического сегмента будет равна ¾ площади треугольника АОВ; если мы положим последнюю равной 3,
то площадь параболического сегмента АОВ будет равна 4, а сумма площадей обоих параболических сегментов AGO и ВНО равна 1.
Центр тяжести каждого из этих сегментов будет лежать на прямой, соединяющей середины хорд, параллельных основанию АО
(или соответственно ОВ) сегмента; это будут параллельные ОС диаметры GE и HF обоих сегментов,
пересекающие пополам в точках Е, F стороны АО и ОВ.
Проведем прямые EF и GH. Если через h обозначим длину высотьи ОС,
то нетрудно видеть, что OL = LC == ½h, э EL = LF = ½АС.
Если GK параллельна АС, то GE будет равна KL. Отрезки ОК и ОС мы можем назвать абсциссами x1 и х2,
a GK и АС соответствующими им ординатами у1 и y2. Мы имеем:
у12 = 2px1
у22 = 2px2
Но у2 вдвое больше у1; следовательно, абсцисса x2 = ОС будет вчетверо больше абсциссы ОК1.
Ho OL = ½h, a OK = ¼h , отсюда следует, что KL = GE = HF будет равняться ¼h.
Теперь представим себе горизонтальный равноплечий рычаг O1СО , на одно плечо которого насажен,
как показано, в вертикальной плоскости целый целый параболлический сегмент AO1B ,
а на другое — такой же сегмент, но разрезанный на те же части. Очевидно, что нагруженный таким образом рычаг 01СО
будет находиться в равновесии. Будем для простоты считать вес каждой части численно равным ее площади.
На левое плечо рычага действует равный 4 вес параболического сегмента, приложенный в его центре тяжести М;
на правое плечо действует равный 3 вес треугольника АОВ, сосредоточенный в его центре тяжести Р,
и приложенные в центрах тяжести М1 и М2 сегментов AGO и BFO их веса,
равные в сумме 1 и действующие по одной вертикали, пересекающей плечо ОС рычага в точке N.
Так как при равновесии рычага взятая относительно точки опоры сумма моментов весов, действующих на правое плечо рычага,
должна равняться сумме моментов весов, действующих на его левое плечо, то мы имеем:
4*MC = 3*CP + 1*CN
Центр тяжести М сегмента АО1В отсекает от его диаметра ОС некоторый отрезок МС,
равный длине h этого диаметра, помноженной на некоторую правильную дробь п:
MC = nh
Так как сегменты AGO и BFO совершенно так же составлены из хорд, параллельных основаниям АО и ВО,
как сегмент АОВ из хорд, параллельных основанию АВ,
то на диаметре EG центр тяжести М1 отсекает такой же отрезок EM1 , какой М отсекает на диаметре O1C,
и мы можем написать:
EM1 = HM2 = LN = n*EG
или поскольку LG = ¼h , то:
LN = n * h/4
Так как расстояние СР тяжести центра треугольника АОС от его основания равно 1/3 его высоты ОС, т. е. 1/3 * h,
и отрезок Ch равен ½h, то наше равенствомы можем переписать в виде:
4 * nh = 3 * h/3 + 1*(h/2 + n * h/4)
Откуда
n = 2/5
Таким образом, центр тяжести М параболического сегмента находится на его диаметре на расстоянии 2/5 длины этого диаметра,
считая от основания сегмента.
Псаммит, или число песчинок
В греческом устном счете основными числовыми классами были единицы, десятки, сотни, тысячи и десятки тысяч, так называемые мириады.
Мириада была единицей первого высшего разряда; за ней шли единицы, десятки, сотни и тысячи мириад;
дальше этих границ устный счет не распространялся.
В письменном счислении греки пользовались способом изображения чисел при помощи букв греческой азбуки.
Для изображения единиц греки брали первые девять букв ее:
Соответственно десятки и сотни также обозначались буквами греческой азбуки.
Тысячи обозначались знаками для единиц с черточкой.
Основная задача книги состоит в том, чтобы определить число песчинок в объеме мира;
для ее решения надо было создать такую систему счисления, при помощи которой можно было бы изображать большие числа и, наконец,
определить размеры вселенной.
Это соединение вычислительной математики с астрономией не было случайным:
оно лежало в самой сущности вавилонской вычислительной астрономии, которая в эпоху Архимеда все более и более стала
завоевывать греческий мир.
После астрономической части сочинения Архимед занимается созданием такой системы счисления, которая позволила бы ему выразить
числом количество песчинок в объеме вселенной.
Он начинает с греческой мириады, которую в наших обозначениях мы можем записать как 104
Эту мириаду он рассматривает как единицу и ведет счет до мириады мириад — 108;
соответствующие числа от 1 до 108 Архимед называет «первыми числами».
Считая 108 за единицу и продолжая аналогично, Архимед получает «вторые числа» вплоть до 102*8.
Описав предложенную систему счисления, Архимед переходит к поставленной в самом начале задаче — определению числа песчинок
в размере вселенной. Оказывается, что это число не так уже велико: по вычислениям Архимеда число песчинок,
которые могли бы заполнить вселенную, не превышает тысячи мириад «восьмых» чисел т. е.
103*104*107*8 = 1063
В «Псаммите» мы сталкиваемся еще с одной стороной греческой вычислительной математики, а именно, с нарождающейся тригонометрией,
развитие которой было тесно связано с потребностями астрономии. И Архимед и Аристарх уже пользовались как само собой разумеющейся
фундаментальной теоремой греческой тригонометрии, которую в современном обозначении можно записать так:
т.е. синус возрастает медленнее, а тангенс быстрее, чем соответствующий угол.
В заключении привожу список литературы.
Архимед - Сочинения.
Лурье - Архимед.
Веселовский - Архимед.
|