Евклид

Но у нас нет оснований сомневаться в существовании Евклида, тем более что в этом не сомневались и позднейшие греческие ученые, кое что рассказывавшие о его характере. Папп сообщает, что он был очень доброжелателен ко всем тем, кто сделал хоть какой-нибудь вклад в математику, корректен, в высшей степени порядочен и совершенно лишен тщеславия. Большую принципиальность Евклида подчеркивают и два следующих анекдота о нем.

Как рассказывает Папп (вторая половина II в, н. э.), Евклид основал в Александрии свою школу. Содержание «Начал» свидетельствует о большом уважении их автора к традиции, поскольку он сохранил в них некоторые уже вышедшие в его время из употребления понятия.

Как-то царь Птолемей I спросил Евклида, нет ли более короткого пути для изучения геометрии, чем штудирование «Начал». На это Евклид смело ответил, что «в геометрии нет царской дороги».

Другой исторический анекдот повествует о том, что один из юношей, изучив первое предложение «Начал», спросил у Евклида: «А что я могу заработать, выучив все это?» Евклид позвал раба и сказал: «Дай ему три обола, так как бедняжка хочет заработать деньги своим учением».

Известно, что Евклид жил около 300 г. до н. э. в Александрии, входившей в то время в состав египетского царства. Последнее образовалось в результате распада мировой державы Александра Македонского. Выгодное положение Александрии как торгового центра и центра технических усовершенствований побудило правителей Египта Птоломеев к организации научно-учебного центра — Музейона, что обозначает прибежище муз. В Музейоне было сосредоточено свыше 500 тысяч рукописей научного характера. Научную работу в Музейоне на условиях государственного обеспечения постоянно или временно вели почти все крупнейшие ученые эллинистической эпохи, в том числе Евклид, Архимед, Аполлоний, Эратосфен и др. Благоприятное влияние Музейона на развитие науки сохранялось около 700 лет; оно стало падать в начале нашей эры в результате завоевательных войн римлян, а затем прекратилось, когда под давлением реакционного христианства «языческие» ученые были изгнаны или убиты, а сам Музейон разорен.

Его глубоко занимали вопросы логических основ математики, и одно из его сочинений, которое до нас не дошло, называлось «Ложные заключения». В книге «Данные» Евклид исследовал вопрос о том, каково должно быть минимальное число заданных величин, чтобы сделать некоторую задачу определенной. Он еще до Аполлония написал трактат о конических сечениях — наиболее полное и систематическое изложение учения об этих кривых.

Евклид, как и другие великие греческие геометры, занимался астрономией, оптикой и теорией музыки. До нас дошли его сочинения, посвященные прикладным вопросам: «Феномены» (элементарная сферическая астрономия), «Оптика» (учение о перспективе) и «Сечение канона» (теория музыки). Это были первые прообразы будущих исследований по математической физике: в них теория выводилась строго дедуктивно из явно сформулированных физических гипотез и математических постулатов.

«Начала» Евклида

Содержание «Начал» далеко не исчерпывается элементарной геометрией — это основы всей античной математики. Здесь подводится итог более чем 300-летнему ее развитию и вместе с тем создается прочная база для дальнейших исследований. Последующие математики ссылались на предложения «Начал», как на нечто окончательно установленное. Какие же области математики выбрал Евклид в качестве элементов? Это планиметрия и стереометрия, геометрическая алгебра и решение квадратных уравнений, теория чисел, учение об отношениях чисел и отношениях величин, классификация квадратичных иррациональностей, метод исчерпывания.

В «Начала» не вошли ни учение о конических сечениях, ни исследования, связанные со знаменитыми задачами древности, ни квадрируемые луночки Гиппократа Хиосского. Там не рассматриваются также вопросы приближенных вычислений. Таким образом, «Начала» не являются энциклопедией античной математики. Видимо, цель Евклида при написании тринадцати книг «Начал» была: дать описание тех основных элементов, на основе которых могут быть развиты все разделы современной ему математики.

Идея составления «Начал» не принадлежит самому Евклиду. Как сообщает Прокл, и до Евклида были сочинения такого рода. Первые «Начала» были написаны Гиппократом Хиосским, а затем Леоном Фейдием, принадлежащими к школе Платона. Несомненно, что и до Евклида сложились определенные традиции, определенные схемы, по которым писались такие книги. Но «Начала» Евклида оказались,по-видимому, настолько совершеннее своих предшественников, что полностью затмили их и вытеснили из обихода. Во всяком случае, последующие античные математики ссылались только на «Начала» Евклида.

Главная особенность «Начал» в том, что они построены по единой логической схеме, что все содержащиеся в них теории строго логически обоснованы по принципу построения научных дисциплин, который намечался еще у Аристотеля.

Геометрическое предложение, если оно полно, состоит из шести частей:
1) формулировка в общих выражениях,
2)постановка, указывающая конкретные данные, как правило,изображенные в виде фигуры,
3) определение или указание(диорисмос), в котором со ссылкой на конкретные данные указывается, что требуется сделать или доказать,
4)построение, в которое входят добавления, требуемые сделать к фигуре, чтобы иметь возможность получить доказательство,
5) само доказательство,
6) заключение, которое возвращается к формулировке и так же как и она выскавывается в общих выражениях. Заключение не зависит от частной фигуры, являющейся лишь представителем целого класса такихфигур.
В некоторых предложениях могут отсутствовать некоторые из этих шести частей. Иногда необходимо добавить еще один «диорисмос», — в смысле указания условий возможности.

«Начала» справедливо считаются образцом дедуктивной системы, строго выдерживающей изложение, исходящее из общих положений и идущее от них к частным. Однако это обстоятельство вовсе не означает, будто другой элементарный метод исследования, всегда неразрывно связанный с дедукцией,— индукция, — в «Началах» отсутствует. По мнению некоторых историков математики и философов, «Начала» построены без какой бы то ни было помощи индукции, «чисто дедуктивно». Однако индукция, движение от частного к общему, от единичных данных чувственного опыта к рациональному обобщению, к абстракции неизбежно участвовала в образовании основных понятий, их определений, постулатов и аксиом, равно как и в создании самого логического приема дедукции. Ведь все эти геометрические понятия и логические приемы возникли в результате многократно повторявшегося опыта как отражения предметов, свойств и связей действительного материального мира, существующего независимо от сознания. Более того, индукция входит в неявном виде в любое геометрическое доказательство и построение. Одни лишь определения, постулаты и аксиомы неспособны подсказать ни что следует доказывать или строить, ни каким путем это можно осуществить. И на то и на другое нам указывает чувственная наглядность, как при прямом рассмотрении фигуры и построении вспомогательных линий,так и при помощи геометрической интуиции. Кроме того, разумеется, индуктивным является заключение от частного случая, например, от отдельного треугольника, для которого мы доказали ту или иную теорему, — к общему случаю, ко всем треугольникам вообще.

Так же как с дедукцией и индукцией, обстоит дело в «Началах» и с анализом и синтезом. Хотя «Начала» в явном виде не применяют аналитического метода сведения неизвестного к известному, тем не менее без анализа невозможно было бы открытие доказательств. Анализ применяется всегда, когда мы переходим от определения к построению. Кроме того, такой распространенный в «Началах» метод доказательства как апагогический (сведение к абсурду, или доказательство от противного) является разновидностью анализа.

«Начала» Евклида начинаются с определений, постулатов и общих понятий.

Характер определений у Евклида различен. В большинстве они описательны, например, определение первое книги I: «Точка есть то, что не имеет частей» . Но наряду с описательными встречаются и номинальные(словесные) определения, вроде определения 19 книги I:«Прямолинейные фигуры суть те, которые содержатся между прямыми...» ; генетические (указывающие на способ происхождения вещи), например, определение 14 книги XI: «Сфера будет, если при неподвижности диаметра полукруга, вращающийся полукруг снова вернется в то же самое <положение>, из которого он начал двигаться, то охваченная фигура <и есть сфера>», и, наконец, аксиоматические (т. е. такие, которые могут быть сформулированы в виде аксиом), например, определение 1 книги III: «Равные круги суть те, у которых диаметры равны или прямые из центра равны» . Очевидно, что описательные и номинальные определения не имеют отношения к выводам, которые делаются затем о предмете этих определений, они логически недейственны.

В то время как определения предпосланы почти каждой отдельной книге (кроме VIII, IX, XII и XIII), постулаты (числом пять) и общие понятия или аксиомы (девять) помещены впереди всего труда в первой книге. Постулаты — это требования построить некоторые простейшие фигуры, между тем как аксиомы — это общепризнанные положения, нуждающиеся в доказательстве и лежащие в основене доказательства.

Построения, допускаемые постулатами, предполагают линейку без делений, не допускающую измерения расстояний. Линейкой можно пользоваться лишь для соединения двух точек или продолжения отрезка. Отсутствие меток на линейке не давало возможности пользоваться методом «вставок», хотя он применялся еще во времена Гиппократа Хиосского. Циркуль разрешалось употреблять только для описания из данной точки как из центра окружности с данным радиусом, а не для переноса данной длины. Постулаты «Начал» — это постулаты идеального циркуля и линейки, хотя прямого упоминания здесь о линейке и циркуле не содержится.

Ограничения, наложенные на употребление линейки и циркуля, были, по-видимому, связаны с тем, что эти инструменты заменили собой веревку, первоначально служившую как для проведения прямых, так и для описания окружностей. Правила, установившиеся для пользования веревкой, не допускавшие, при желании соблюдения точности построения, столь свободного обращения, которое возможно с жесткими инструментами, сохранились затем по традиции и тогда, когда инструменты сменили веревку. Эти ограничения не только усложнили производство построений, но главное, привели к тому, что в «Начала» не были включены те геометрические теории, которые требовали либо «вставок», либо других линий, кроме прямой и окружности. Именно поэтому здесь не излагалась теория конических сечений, хотя она была тогда уже хорошо развита. Но в «Начала» не вошла также и логистика, — учение о практических вычислениях, — так как она, как уже упоминалось, считалась скорее ремеслом, чем наукой. Многие историки математики объясняют произведенный Евклидом отбор материалов тем, что он, следуя Платону, и вместе с ними пифагорейцам, считал только прямую и круг «совершенными» линиями и не допускал «вставку» как механическое движение, чужеродное геометрии, имеющей дело лишь с идеальными объектами. Однако Евклид вовсе не пренебрегал изучением конических сечений, а написал о них отдельное сочинение. Что же касается «вставки», то механическое движение, которое требуется для ее осуществления, принципиально ничем не отличается от механического движения, требующегося для соединения двух точек прямой, и оба действия существенно не отличаются и по точности. Отпадает и предположение, будто «вставки» не были включены в «Начала» потому, что для доказательства проводимых с их помощью построений требуются знания, выходящие за пределы «Начал». Для доказательства трисекции угла при помощи «вставки» не требуется других знаний, кроме содержащихся в «Началах», несмотря на то, что алгебраически решение этой задачи приводит к уравнению третьей степени.

Постулаты и аксиомы Начал

Эти постулаты предполагают, что линейка и циркуль идеальны, обладают бесконечной длиной или раствором, позволяют строить идеальные прямые и окружности.

Четвертый постулат выдвигает требование равенства всех прямых углов между собой, положение, которое теперь не считается постулатом, а доказывается.

Пятый постулат гласит: «И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых»

Смысл пятого постулата заключается в том, что точка пересечения двух прямых считается построенной, если при пересечении третьей прямой внутренние односторонние углы в сумме меньше двух прямых. Этот постулат получил название постулата о параллельных. Его, или какой-то равносильный ему, пытались, по свидетельству Аристотеля, доказывать еще за сто лет до Евклида. При этом, однако, допускали логическую ошибку petitio principi, неявно используя положение, равносильное доказываемому, на что указывал Аристотель. Эти попытки продолжались затем на протяжении двух тысячелетий, пока гениальный русский математик Н. И. Лобачевский в 1826 г. не создал свою неевклидову геометрию, из которой вытекало, что пятый постулат доказать нельзя.

Первые шесть аксиом, пользуясь алгебраической записью,можно выразить так:
1. Если А = С и В = С, то А = В;
2. Если А = В, то А + С = В + С;
3. Если А = В, то А — С = В — С;
4. Если А ≠ В, то А + С ≠ В + С;
5. Если А = В, то 2A = 2В;
6. Если А = В, то ½ А=½ В.

Разумеется, что у Евклида они выражаются словами. При этом здесь имеются в виду геометрические величины — линии,поверхности и тела, а не отвлеченные числа.
Аксиома 7 гласит:«И совмещающиеся друг с другом равны между собой»
что Евклид понимал в том смысле, что если фигуры при наложении совпадают, то они равновелики, т. е. имеют равные площади. Приняв эту аксиому, Евклид, по-видимому, отдал дань давней традиции, так как применение наложения встречалось, должно быть, еще у Фалеса. Но Платон и Аристотель считали, что «математические науки чужды движению». И хотя сам Евклид применял движение (например, в определении шара), он все же старался избегать его,как отступление. Следующие аксиомы, скорее всего, были добавлены позже:
Аксиома 8: «И целое непоследовательное больше части»
Аксиома 9: «И две прямые не содержат пространства»

Евклид сформулировал общие понятия, или аксиомы, которые в противоположность постулатам, справедливым только для геометрии. Аксиомы — это такие очевидные вещи, которые, по словам Аристотеля, «необходимо иметь каждому, кто будет что-то изучать». Постулат — это лишь принцип, который геометр предлагает своему собеседнику принять, но который не является ни «очевидным», ни «аксиоматическим» и который можно отвергнуть, не приходя к противоречию. По-видимому, Евклид придерживался аристотелевой точки зрения, согласно которой постулаты интерпретировались как простые «гипотезы», которые будут подтверждены, если выведенные из них следствия будут соответствовать действительности. Если математики XX в. видят в них первое проявление аксиоматического метода, позиция последователей Евклида была более примитиввой: вплоть до XIV в. геометры видели в постулатах евклидовой геометрии неопровержимые истины, применяемые для описания чувственного мира.

Наиболее распространенная в настоящее время и общепризнанная система аксиом Д. Гильберта в первой редакции появилась только в 1899 г. в сочинении «Основания геометрии». Позднее Гильберт внес всвою систему немало дополнений и усовершенствований. В наше время она состоит из следующих пяти групп аксиом:
а) восемь аксиом соединения или принадлежности;
б) четыре аксиомы порядка;
в) пять аксиом конгруентности или движения;
г) аксиома параллельности;
д) две аксиомы непрерывности: Архимеда и линейной полноты.
Эти пять групп аксиом вводят основные объекты геометрии: точку, прямую и плоскость, а также отношения между объектами, выражаемыми словами: принадлежит, между и конгруентен. Определений и постулатов система современных основных положений не имеет.

Тринадцать книг Начал

В I книге излагается планиметрия прямолинейных фигур; в ней устанавливаются основные свойства прямоугольников, треугольников, и доказывается, например, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, что углы при основании равнобедренного треугольника равны и т. д. Венчает книгу теорема Пифагора и обратное ей предложение. Поскольку книга строится без общей теории отношений, все теоремы о площадях формулируются как предложения о равновеликости. Так, вместо привычного нам предложения о том, что площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, доказывается, что треугольник равновелик половине прямоугольника, имеющего с ни мравные основания и высоту.
Первая книга начинается с 23 определений:
1: «Точка есть то, что не имеет частей», является отрицательным определением, говорящим лишь о том, чем точка не является, а не о том, чем она есть, вследствие чего под это определение подходит любой неделимый предмет. Это определение Евклида отличается от определения точки, данного Аристотелем, тем, что Евклид отбросил слова «наделенное положением», вследствие чего уничтожил разницу между точкой и единицей.
2: «Линия же — длина без — длина без ширины», выражает одномерность линии.
3:«Концы же линии — точки», собственно, является аксиомой, высказанной об уже определенных точке и линии, а не новым определением точки.
4: «Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней»,по-видимому, означает, что прямая сохраняет все свои свойства, в том числе и направление для любой своей точки.
Определения 5, 6 и 7 аналогичны предыдущим трем, определяя поверхность, линии как концы поверхности и плоскость. Определения 8—12 касаются углов, угол определен как причем «наклонение друг к другу двух линий», пересекающихсяв плоскости.
13: «Граница есть то, что является оконечностью чего-либо», означает: то, что ограничивает что-либо, вполне его определяя, является в нем самым крайним.
В определении 14 фигура определяется как часть плоскости, содержащаяся внутри какой-нибудь границы. Определения 15—18 касаются круга, центра, диаметра, причем окружность определяется как линия, все точки которой равно отстоят от центра, хотя проще было бы получить круг вращением прямой вокруг неподвижной точки. Определения 19—22 говорят о прямолинейных фигурах, выделяя особо различные виды треугольников и четырехугольников. От принятой здесь классификации Евклид частично отступает в стереометрических книгах «Начал».
23: «Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той, ни с другой стороны между собой не встречаются». В отличие от других, это определение не может быть проверено, так как оно требует знания неограниченной плоскости, между тем как наши знания охватывают всегда лишь ограниченную ее часть. Это обстоятельство, должно быть, как раз и послужило толчком для поисков создания теории параллельных и попыток доказательств.

Далее в первой книге идут 5 постулатов, о которых было сказано выше, после которых перечисляются понятия, или аксиомы:
1. Равные одному и тому же равны и между собой.
2. И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.
3. И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.
4. И если к неравным прибавляются равные, то целые будут не равны.
5. И удвоенные одного и того же равны между собой.
6. И половины одного и того же равны между собой
7. И совмещающиеся друг с другом равны междусобой .
8. И целое больше части .
9. И две прямые не содержат пространства

Книга I состоит из 48 предложений, которые распадаются на три группы. Первая (предложения 1—26) посвящена главным образом треугольникам и перпендикулярам. Во второй группе (предложения 27—32) дана теория параллельных, которая в последнем предложении этой группы применена к доказательству того, что сумма углов треугольника равна двум прямым. Третья группа (предложения 33—48) занимается параллелограммами, квадратами и треугольниками, сравниваяпо площади равновеликие, но не равные фигуры. Два последних предложения книги I содержат доказательство так называемой теоремы Пифагора и обратной ей теоремы. Доказательство прямой теоремы, которое, по свидетельству Прокла, принадлежит самому Евклиду, построено на равно-великости треугольников с равными основаниями и равными высотами. Каждое предложение представляет из себя практически теорему с прилагающимся рисунком и доказательством.

Например, предложение 1: На данной ограниченной прямой построить равносторонний треугольник. Из следующего рисунка сразу становится понятно, как это делать, и дальнейшее описание, данное Евклидом, можно опустить:


Предложение 9: Данный прямолинейный угол рассечь пополам.
Пусть данный прямолинейный уголбудет ВАС; требуется рассечь его пополам. Возьмём на АВ произвольную точку D, от АС отнимем АЕ, равную AD, соединим DE, построим на DE равносторонний треугольник DEF и coединим AF; угол ВАС делится пополам прямой AF.


Предложение 15: Если две прямые пересекаются, то образуют углы через вершину , равные между собой. Доказательство смотрите ниже, в приложенных переводах Евклидовских Начал.

Предложение 22: Из трёх прямых, которые равны трём данным прямым, составить треугольник; нужно, однако, чтобы две прямые, взятые, вместе, при всяком их выборе были бы больше оставшейся вследствие того, что во всяком треугольнике две стороны, взятые вместе при всяком их выборе, больше оставшейся.
Проведём какую-нибудь прямую DE, ограниченную в D и не ограниченную в сторону Е, и отложим DF, равную A, затем FH равную В, и HG, равную С ;и из центра F раствором FD опишем круг DKL; затем из центра Н раствором НG опишем круг KLG и соединим KF и КН. Я утверждаю, что из трёх прямых, равных A, В, С, и составлен треугольник KFH.


Предложение 42: Построить равный данному треугольнику параллелограмм с данным углом.
Пусть данный треугольник будет ABC, данный же угол D; требуется вот построить равный по площади треугольнику АВС параллелограмм в угле,равном углу D .
Рассечём ВС пополам в Е , соединим АЕ, построим на прямой ЕС при её точке Е угол CEF, равный D; и через А проведём АН, параллельную ЕС; через С же проведём СH,параллельную EF ; значит, FECH есть параллелограмм. И поскольку BE равна ЕС, то и треугольник ABE равен треугольнику АЕС , ибо они находятся на равных основаниях BE, ЕС и между теми же параллельными ВС, АН ; значит, треугольник ABC вдвое больше треугольника АЕС. Но и параллелограмм FECH вдвое больше треугольника АЕС , ибо имеет с ним то же основание и находится с ним между теми же параллельными; значит, параллелограмм FECH равен треугольнику ABC и имеет угол CEF, равный D данному. Значит, построен равный данному треугольнику ABC параллелограмм FECH в угле CEF, который равен углу D, что и требовалось сделать.



Нельзя пройти и мимо предложения 47, которое является доказательством теоремы Пифгора, которое я давал уже в предыдущей статье о Пифагоре:
В прямоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей прямой угол, равен вместе взятым квадратам на сторонах, заключающих прямой угол.
Пусть ABC прямоугольный треугольник, имеющий прямойугол ВАС; я утверждаю, что квадрат на ВС равен вместе взятым на ВА и АС квадратам. Действительно, на ВС надстроим квадрат ВDEC, а на ВА, АС надстроим квадраты HВ, GC ; и через А проведём AL, параллельнуюкак BD, так и СЕ; соединим AD, FC. И поскольку каждый из углов ВАС, ВАН прямой , то вот на некоторой прямой ВА при её точке А две прямые АС, АН, расположенные не но одну сторону, образуют смежные углы, вместе равные двум прямым; значит, СА будет по одной прямой с АН. Вследствиетого же вот и ВА будет по одной прямой с AG. И поскольку угол DBC равен углу FBA , ибо каждый из них прямой, то прибавим общий угол ABC; значит, весь угол DBA равен всему FBC . И поскольку DB равна ВС, a FB равна ВА , то вот две стороны DB, ВА равны двумсторонам ВС, FB каждая каждой; и угол DBA равен углу FBC;значит, и основание AD равно основанию FC, и треугольник ABD равен треугольнику FBC. И удвоенный треугольник ABD есть параллелограмм BL , ибо они имеют то же основание BD и расположены между теми жепараллельными BD, AL . Удвоенный же треугольник FBC есть квадрат НВ; ибо они имеют то же основание FB и расположены между темиже параллельными FB и НС; но удвоенные равных величин равны между собой ; значит, и параллелограмм BL равен квадрату НВ. Подобным же вот образом, соединяя АЕ, ВК, будет доказано, что и параллелограмм CL равен квадрату GC; значит, весь квздрат BDEC равен двум квадратам НВ и GC вместе взятым. И BDEC есть квадрат, надстроенный на ВС, а НВ, GC — на ВА,АС; значит, квадрат на стороне ВС равен вместе взятым квадратам на сторонах ВА, АС. Значит, в прямоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей прямой угол, равен вместе взятым квадратам на сторонах, заключающих прямой угол; что и требовалось доказать:


На материале первой книги выявляются некоторые характерные особенности метода математического суждения и формы изложения Евклида.
а) Метод рассуждений Евклида всегда синтетический. Для доказательства какой-либо теоремы он исходит из заведомо справедливого утверждения, в конечном счете опирающегося на систему основных положений. Из этого последнего он развивает последовательность следствий, приводящих к искомому утверждению. Обратный путь рассуждений: приняв искомую теорему за доказанную, вывести из нее последовательность следствий, вплоть до того, как будет получено заведомо верное утверждение в «Началах» и в качестве доказательств не употребляется. В противоположность синтезу древние называли этот метод анализом.
б) Доказательства строятся по единой схеме, состоящей из следующих частей: формулировка задачи, или теоремы; введение чертежа для формулировки данных задачи ; формулировка по чертежу искомого ; введение вспомогательных линий — построение; доказательство в собственном смысле ; объявление того, что доказано и что доказанное решает задачу или адекватно поставленнойтеореме — заключение. В несколько упрощенной форме эта схема стала традиционной и дошла до наших дней как классический образец математического рассуждения, в известном смысле обязательный для математиков.
в) Средства геометрического построения — циркуль и линейка — принципиально не употребляются как средство измерения. Линейка не имеет мерных делений. Поэтому и здесь и далее в «Началах» не идет речь об измерении длин отрезков, площадей фигур и объемов тел, а лишь об их отношениях.

Во II книге излагаются элементы геометрической алгебры. Произведение двух отрезков здесь понимается как построенный на них прямоугольник. Уже упоминалось, что в этой книге устанавливаются основные тождества и доказывается закон дистрибутивности умножения по отношению к сложению. Обе первые книги восходят к пифагорейцам.
Книга II, самая короткая из всех, содержит 21 предложение, которым предпосланы два определения, где вводится уже известное нам понятие гномона. Эта книга, являющаяся продолжением третьей части первой книги, представляет собой геометрическую алгебру греков. В предложениях, например, ab + а(а — b) = а² ; 4аb + (а — b)² = (а + b)² , произведения отрезков — это не произведения чисел, а площади прямоугольников, «заключенных между отрезками», т. е. имеющих эти отрезки своими сторонами.
Например, Предложение 4 геометрически доказывает формулу: (a + b)² = a² + 2ab + b²:
Если прямая линия как-либо рассечена, то квадрат на всей прямой равен квадратам на отрезках вместе с дважды взятым прямоугольником, заключённым между отрезками:

В III книге рассматриваются свойства круга, его касательных и хорд. Эти вопросы были исследованы еще Гиппократом Хиосским или ранее.
Ей предпослано 11 определений, в которых вводятся понятия касательной (как прямой встречающей, но не пересекающей круг), касания двух кругов и др. Среди предложений третьей книги обращает на себя внимание предложение 16, где рассматривается угол между окружностью и касательной, т. е. «роговидный» угол, и доказывается, что он меньше любого прямолинейного острого угла;к смешанным углам Евклид прибегает еще лишь один раз, в предложении 31.
Предложение 16: Прямая, проведённая под прямыми углами к диаметру круга в его концах, упадёт вне круга, и в пространстве между прямой и обводом не поместится другая:

В IV книге строятся правильные n-угольники при п = 3, 4,5, 10, 15, причем исключительно изящное построение правильного 15-угольника принадлежит, по-видимому, самому Евклиду.
Евклид рассматривал фигуры, вписанные в круг или описанные около него, введя предварительно эти понятия в семи определениях. Интересно отметить, что из правильных многоугольников, вписанных в круг, кроме построений квадрата, пятиугольника (при помощи золотого сечения) и шестиугольника, указано также построение правильного пятнадцатиугольника. Эта задача возникла в астрономии, так как угол наклона эклиптики к экватору считался равным 1/15 полного угла (на самом деле он равен около 23°27').
Предложение 16: В данный круг вписать пятнадцатиугольник равносторонний и равноугольный.
Пусть данный круг будет ABCD; вот требуется в круг ABCD вписать пятнадцатиугольник равносторонний и равноугольный . Впишем в круг ABCD сторону АС равностороннего треугольника, в него вписанного и сторону АВ равностороннего пятиугольника; значит, каких равных долей будет в круге ABCD пятнадцать , таких в обводе АВС, являющемся третью круга, будет пять, в обводе же АВ, являющемся пятой частью круга, будет три; значит, в остающемся обводе ВС равных долей будет две. Рассечём ВС пополам в Е ; значит, каждый из обводов BE и ЕС будет пятнадцатой частью круга ABCD. Значит, если, соединив BE и ЕС, будем вставлять в круг ABCD одну за другой равные им прямые , то получим вписанный в круг пятнадцатиугольник равносторонний и равноугольный, что и требовалось сделать.

V книга посвящена общей теории отношений величин Евдокса. Она отличается особенной стройностью и логической завершенностью. Она состоит из 25 предложений.
Евклид изображает величины отрезками, отношения которых, поскольку не существовало понятия иррационального числа, не могут в общем случае быть выражены в числах. Предложения книги V легко записать в современных обозначениях.
Предложение 1: Если будет несколько величин, равнократных каждая каждой каким-нибудь другим, взятым в равном количестве величинам, то сколько раз одна из первых величин будет кратна одной из вторых, столько же раз будут и все первые величины вместе кратны всем вторым.
Если обозначим через А, В, С,... величины, а через m, п, р... — целые положительных числа, то предложение 1, например, гласит:
mА + mВ + mС +... = m(А + В + С +...),
Предложение 6: Если две величины равнократны двум другим величинам и какие-нибудь отнимаемые равнократны тем же самым, то и остатки будут или равны им или одинаково им кратны:
mА — пА = (m — n)А
Предложение 25: Если четыре величины пропорциональны, то наибольшая из них и наименьшая больше двух оставшихся. 25 предложение мы записали бы так:
если А : В = С : D и А > В > С > D,
то А + D > В + С.

В VI книге Евклид строит учение о подобии и прилагает его к задачам, равносильным решению квадратных уравнений. В этих книгах вводится новый закон композиции — составление отношений — и устанавливаются его свойства.
Она состоит из 33 предложений.
Определение 5: «Говорится, что отношение составляется из отношений, когда количества этих отношений, перемноженные между собой, образуют нечто» , в неясном виде введено понятие составного отношения, под которым понимают отношение
A/C = A/B : B/C
Так как Евклид нигде не обращается с отношениями как с числами, он не может говорить и об умножении отношений. Следовательно, определение 5 надо считать более поздней вставкой. Из критики, вызванной этим определением, выросла идея расширения понятия числа до действительного числа. Составные отношения широко использованы в античной геометрии.
Предложение 27: «Из всех параллелограммов, приложенных к той же прямой и имеющих недостаток в виде параллелограммов, подобных и подобно расположенных параллелограмму, построенному на половине, наибольшим будет параллелограмм, приложенный к половине и подобный своему недостатку». Это предложение является исторически первым, содержащим упоминание максимума; мы записали бы его так: выражение х(а — х) принимает максимальное значение для х = a/2.
Предложение 31 обобщает теорему Пифагора на любые прямолинейные подобные фигуры, построенные на сторонах прямоугольного треугольника. В целом книга VI содержит материал, известный уже до Евклида, однако изложенный с помощью новой теории — теории пропорций.

В книге VI теория пропорций книги V применяется к прямолинейным фигурам, к геометрии на плоскости и, в частности, к подобным фигурам, причем «подобные прямолинейные фигуры суть те, которые имеют углы, равные по порядку, и стороны при равных углах пропорциональные». Евклид использовал здесь знаменитое определение 5 для проверки пропорциональности при доказательстве первого предложения, устанавливающего тот факт, что «треугольники и параллелограммы, находящиеся под одной и той же высотой, относятся друг к другу как основания». Здесь можно обнаружить также (предложения XXV—XXIX) основы техники построения, развитые в школе Пифагора и названные приложением площадей. Эта техника охватывает три различных построения с помощью лишь циркуля и линейки. Первое называется простым или параболическим приложением. Речь идет о построении параллелограмма с заданным углом, равновеликого некоторой прямолинейной фигуре, тоже данной. Точнее, Евклид задавался отрезком AD, углом при точке А и площадью с некой прямолинейной фигуры и строил на AD параллелограмм ADFI с этим углом при вершине А, площадь которого была равна данной площади С :

Построение: Пусть есть отрезок длиной AD, который обозначим как a. Достаточно решить квадратное уравнение:
ax - x²=c
и найти x:


В 27-м предложении VI книги Евклид доказывает (чисто геометрически) предложение, содержание которого сводится к следующему: из всех параллелограммов, вписанных в данный треугольник, наибольшую площадь имеет тот, основание которого равно половине основания треугольника.
Предложение 27: Из всех параллелограммов, приложенных к той же прямой и имеющих недостатки в виде параллелограммов, подобных и подобно расположенных параллелограмму, построенному на половине, наибольшим будет параллелограмм , приложенный к половине и подобный своему недостатку.
Пусть прямая будет АВ, пусть она рассечена пополам в С и пусть к прямой АВ приложен параллелограмм AD, имеющий недостаток в виде параллелограмма DB, построенного на половине АВ, т. е. СВ; я утверждаю, что из всех параллелограммов, приложенных к АВ, имеющих недостатки в виде параллелограммов, подобных и подобно расположенных с DB, наибольший будет AD. Приложим к прямой АВ параллелограмм AI, имеющий недостаток в виде параллелограмма IB, подобного и подобно расположенного с DB; я утверждаю, что АD больше AL. Действительно, поскольку параллелограмм DB подобен параллелограмму IB, то они будут на одном и том же диаметре . Проведём их диаметр DB и достроим чертёж. Поскольку теперь СI равна IE , IB же общая, то значит, вся CG равна всей КE. Но CG равна СH, поскольку и АС равна СВ .И значит, НС равна ЕК. Прибавим общую СI; значит,весь AI равен гномону LMN; так что параллелограмм DB, т. е. AD, больше параллелограмма AI.

Доказательство современным языком:

Пусть ABC — треугольник , в который вписан параллелограмм BLMN, основание которого BN = х. Обозначим через h высоту параллелограмма, площадь S последнего выразится формулой:
S = h*x
h = BL * sin(B)
Пусть BC = a. Из подобных треугольников CMN и ABC имеем:
MN/BA = BL/BA = NC/BC = (a-x)/a
Отсюда
BL = BA * (a - x) / a
Далее
h = BA * sin(B) * (a - x) / a
Далее подставляем h в первую формулу:
S = BA * sin(B) * x * (a - x) / a
Задача сводится к определению максимума функции
y = x*(a-x)
где a - постоянная. Решая уравнение с помощью производной, получаем:
y = a - 2x = 0
и при x = a/2 имеем максимум.

Книги VII—IX посвящены арифметике, т. е. теории целых и рациональных чисел. Каждое целое число изображается отрезком, полученным повторением единичного. Сложение чисел сводится к сложению изображающих их отрезков. В арифметических книгах, помимо изучения сложения и умножения целых чисел и умножения их отношений, рассматриваются вопросы теории чисел: вводится «алгоритм Евклида», доказываются основные теоремы теории делимости целых чисел, наконец, доказывается знаменитая теорема Евклида о том, что существует бесконечно много простых чисел.
Здесь разрабатывается теоретическая арифметика, сосредоточены основные знания о целых числах, накопившиеся ко времени Евклида. Как это убедительно показала И. Г. Башмакова ,Г. Цейтен и некоторые другие историки, математики недооценили значение этих книг и не поняли, что они представляют необходимую предпосылку к книге X, излагающей теорию иррациональностей. Первая книга, включающая 39 предложений, открывается 23 определениями, на этот раз относящимися ко всем трем книгам. Здесь даны определения единицы, числа, разных видов чисел — четных, нечетных, четно-четных,четно-нечетных, нечетно-нечетных, затем простых, взаимнопростых, составных и взаимно составных (т. е. имеющих общий делитель), кратных, плоских, телесных, квадратных, кубических, подобных квадратных и подобных кубических. Здесь также вводится понятие «часть» («Часть есть число в числе, меньшее в большем, если оно измеряет большее»), например, отрезок, равный двум, есть «часть» отрезка, равного шести, затем понятие «части»-—этот же отрезок является не «частью» отрезка, равного пяти, а его «частями» т. е. 5/6 и, наконец, понятие совершенного числа, как такого, которое равно сумме своих «частей» (в нашем понимании — делителей). Заметим, что определение единицы, как «то, через что каждое из существующих считается единым», крайне неясно. Евклид, как и вообще древние, не считает единицу числом, а потому вынужден всякое предложение, верное для чисел, особо доказывать для единицы. Из определения числа как множества, составленного из единиц, ясно, что Евклид понимает под «числом» лишь целое число (дроби он не считает числами) далее, что это количественное, а не порядковое число, и наконец, что под «множеством» он понимает просто конечную совокупность. При этом числа Евклид понимает не отвлеченно, а как числа-отрезки, являющиеся, как бы мы сказали, целочисленными кратными единичного отрезка.
Предложения книги VII распадаются на четыре основные группы.
Первая (предложения 1—3) учит, как найти наибольшую общую меру (в нашем понимании — наибольший общий делитель) двух или трех чисел. Здесь применяется алгоритм(т. е. конечная система правил вычисления для решения однотипных задач), получивший название алгоритма Евклида, которым мы пользуемся для этой цели и поныне, с той лишь разницей, что Евклид применяет не деление отвлеченных чисел, а повторное вычитание чисел-отрезков.

Во второй группе предложений (4—19) развита арифметическая теория пропорций Например, в предложениях 17, 18 и 19 доказываются
АВ/AC = B/C
В предложениях 23—32 рассматриваются основные положения теории делимости.
Предложение 31: «Всякое составное число измеряется каким-то первым числом»
Его Евклид доказывает методом, получившимв дальнейшем название метода спуска. Он состоит вследующем: если А — сложное число, то существует число В, являющееся делителем А. Если В — простое число, то теорема доказана. Если же B — сложное число, то существует число С, являющееся делителем В. Повторяя этот процесс, получаем ряд чисел A, В, С, ..., из которых каждое, начиная с В,является делителем предыдущего, и А > В > С. Но отсюда следует, что мы через конечное число шагов дойдем до делителя всех предыдущих чисел, а значит,и числа А т. е. до простого числа Р. Ведь в противном случае последовательность А, В, С,... была бы бесконечной,что невозможно, ибо тогда, как- пишет Евклид, «число А будет измеряться бесконечным рядом чисел, из которых каждое будет меньше; это же невозможно для чисел».
Методспуска был надолго забыт, им стали пользоваться вновь лишь в XIII веке.
Девятая, завершающая арифметическая книга, состоит из 36 предложений. Из них предложения 14—20 относятся к теории простых чисел. Первое из них гласит:
«Если число будет наименьшим измеряемым данными первыми числами, то оно не измерится никаким иным числом, кроме первым первоначально измеривших его» . Этим выражена основная теорема теории простых чисел о единственности разложения составного числа на простые множители. Евклид принимает А = ВС, где В, С — простые числа и, предположив, что существует отличное от В, С простое число Е, на которое делится А, показывает, что это предложение приводит к противоречию. Как отмечает И. Н. Веселовский в комментариях к русскому переводу «Начал» ,Евклид берет лишь три простых множителя и не рассматривает случая, когда они входят в высших чем первой степенях, потому что греки признавали только плоскостные и телесные числа.
Предложение 20, известное как предложение о существовании бесконечного множества простых чисел, гласит:
«Первых чисел существует больше всякого предложенного количества первых чисел» .
Доказательство Евклида ведется от противного: Если допустить, что А,В,С — простые числа, то их произведение, увеличенное на единицу (ABC +1), либо будет простым числом, и в этом случае количество простых чисел не ограничивается предложенными, либо оно не будет простым, и тогда должно делиться на какое-то простое число H. Однако число H не может совпадать ни с одним из чисел А, В, С, ибо, если бы оно совпадало, например с А, и так как оно является делителем и для числа ABC + 1 и для числа ABC, то оно должно было бы быть делителем единицы, что нелепо. Следовательно, кроме А, В, С число H является простым. Это предложение Евклида отвечало на вопрос, возникающий при эмпирическом рассмотрении натурального ряда чисел: чем дальше, простые числа попадаются в нем все реже, поэтому естественно заподозрить, что имеется какое-то наибольшее простое число.
Предложение 35 решает задачу суммирования геометрической прогрессии.
Последнее, 36-е предложение, выводит формулу для совершенных чисел:

если р и (2^р - 1) —простые числа. Евклид не доказывает, что всякое четное совершенное число имеет этот вид — это было доказано позже.

Теория пропорций Евклида в «Началах» строится дважды: для непрерывных величин в книге V и отдельно для соизмеримых величини целых чисел в VII книге.
Две пары соизмеримых величин или чисел А, В и С, D образуют пропорцию, если имеет место какой-нибудь из трех случаев:
1. A = nB и C = nD
2. nA = B и nC = D
3. Для некоторых величин N и М, если одновременно А = mN, В = nN и С = mМ, D = пМ или, если пользоваться дробями, чего Евклид не делает,
А =(m/n)B и C = (m/n)D.
Сам Евклид говорил в первом случае, что А и С равно-кратны В и D, во втором, что А и С являются одной и той же частью В и D, и в третьем, что A и С суть одинаковые части В и D.
Различение чисел как множеств единиц, и отношений чисел или величин, было в классической античной математикене просто терминологическим. Оно обусловливалось той функцией, которую выполняла теория отношений. Теория отношений целых чисел возникла из практики действий с дробями, но применена была к исследованию свойств целых чисел. Общая теория отношений лежала в основе учения о подобии и метода исчерпывания. И хотя в некоторых вопросах она играла ту же роль, что в современном анализе играют действительные числа, она все-таки не использовалась или почти не использовалась в вычислениях. Показательно, что в книге VII не рассматривается сложение и вычитание отношений, а в книге V эти операции далее вводятся только для нужного частного случая отношений с последующим общим членом. Лишь в позднейшем развитии греческой математики началось приспособление теории отношений к задачам вычислительной математики, а дроби (но не иррациональности) стали называть числами.

Евклидов алгоритм используется для нахождения наибольшего общего делителя (нод) двух положительных целых чисел а, b. Первый этап — построить пару (а1, b1), где
а1 = mах(a, b) — min(a, b)
b1 = min(a, b)
и затем просто повторить эту операцию, вычитая меньшее число из большего. То есть, если пара, построенная на шаге i, — (а_i, b_i), тогда пара, построенная на шаге i + 1, —
а_i+1 = max(a_i, b_i) - min(a_i, b_i)
b_i+1 = min(a_i, b_i)
Алгоритм завершается на первом шаге, когда a_i+1 = b_i+1, и это общее значение — нод (а, b). Это потому, что вычитание разностей сохраняет любые общие делители, следовательно, когда a_i+1 = b_i+1, мы имеем
нод(a, b) = нод(a₁, b₁) = ... = нод(a_i+1, b_i+1) = a_i+1 = b_i+1

Этот алгоритм изложен у Евклида в 7-й книге следующим образом со всеми особенностями перевода с оригинала:
Предложение 2
Для двух данных чисел, не первых между собой, найти наибольшую общую их меру.

Пусть данные два числа, не первые между собой, будут АВ, CD. Вот требуется для АВ, CD найти наибольшую общую меру. Если теперь CD измеряет АВ, измеряет также и себя, то, значит, CD есть общая мера CD, AB. И ясно, что и наибольшая, ибо никакое число, большее CD, не измерит CD. АВ,
Если же CD не измеряет АВ, то для АВ, CD при постоянном отнятии меньшего из большего останется число, некоторое которое измерит предыдущее. Действительно, единица не останется; в противном случае будут АВ, CD первыми между собой; это же не предполагается. Значит, останется какое-то число, которое измерит предыдущее. И пусть CD, измеряя BE, оставит меньшее себя ЕА, ЕА же, измеряя DI, оставит меньшее себя IС, CI же пусть будет измерять АЕ. Поскольку теперь С1 измеряет АЕ, АЕ же измеряет DI, то, значит, CI измерит и DI; оно же измеряет и себя самого; значит, измерит и все CD. Но CD измеряет BE; значит, и СI измеряет BE, оно же измеряет и ЕА; значит, измерит и все ВА; оно же измеряети CD; значит, СI измеряет АВ, CD. Значит, СI — общая мера АВ, CD. Вот я утверждаю, что она и наибольшая. Действительно, если СI не будет наибольшей общей мерой АВ, CD, то числа АВ, CD измерит какое-то число, большее чем CI. Пусть оно измеряет и будет Н. И поскольку Н измеряет CD, CD же измеряет BE, то, значит, и Н измеряет BE; оно же измеряет все ВА; значит, оно измерит и остаток АЕ. Но АЕ измеряет DI; значит, и Н измерит DI; оно же измеряет и все DC; значит,измерит и остаток СI, большее—меньшее; это же невозможно. Значит, числа АВ, CD не измерит никакое число большее СI; значит, СI — наибольшая общая мера АВ и CD что и требовалось доказать.

Пример. Найти нод(213, 126).
Произведем следующий ряд последовательных делений:
1) 213 : 126 = 1, первый остаток r1 =87;
2) 126 : 87 = 1, второй остаток г2 = 39;
3) 87 : 39 == 2, третий остаток г3 = 9;
4) 39 : 9 = 4, четвертый остаток г4 = 3;
5) 9 : 3 = 3, пятый остаток г5 = 0.
Последний отличный от нуля остаток, в данном случае г4 = 3, есть НОД данных чисел, так как (213, 126) =-(126, 87) = (87,39) = (39, 9) = (9, 3) = 3.

В X книге на основании учения о целых рациональных числах Евклид, следуя Теэтету, проводит классификацию квадратичных иррациональностей, которые возникают при решении цепочек квадратных уравнений. Здесь намечается построение того пифагорова поля, о котором уже говорилось. В этой же книге доказывается, что соизмеримые величины относятся, как число к числу. В сущности, этим множество рациональных чисел вкладывается в множество всех действительных.
Эта книга, содержащая 115 предложений, которым предпосланы четыре определения, содержит классификацию иррациональностей, получаемых при решении квадратных и приводящихся к квадратным биквадратных уравнений с рациональными коэффициентами. Вначале дано определение соизмеримых и несоизмеримых величин, затем величин, соизмеримых в степени (квадраты которых соизмеримы) и несоизмеримых в степени, причем все эти понятия относятся к геометрическим величинам, а не к числам. Далее Евклид называет заданную прямую рациональной, и соизмеримые с ней отрезки(как линейно, так и в степени) — рациональными, а не соизмеримые с ней — иррациональными. Следовательно, рациональными отрезками он считает не только те, которые в нашем смысле являются рациональными кратными данного отрезка А, например пА (где п — рациональное число), но и отрезки вида n√А, поскольку отрезки могут быть измеримы в степени. Но если В — площадь, то рациональными будут лишь площади nВ, так как площади не могут быть соизмеримы в степени, ибо квадрат площади не имеет геометрического смысла.
Соизмеримости величин посвящены первые 18 предложений. Предложение 9, прозванное теоремой Теэтета, равносильно утверждению, что корень из неточного квадрата не может выражаться соизмеримым числом. Предложения 10—16 изучают соизмеримость и несоизмеримость величин на основании каких-либо данных отношений связанных с ними других величин. Они подготовляют предложения 17—18, доказывающие, выражаясь современным языком, что корни квадратного уравнения
ах — х² = b²/4
соизмеримы или несоизмеримы с а в зависимости от того,соизмеримо или несоизмеримо с а выражение
√(a² — b²)
С предложений 19—21 начинается вторая часть книги X. Эти приближения посвящены прямоугольникам: если стороны прямоугольника линейно соизмеримы, то он рационален, если же его стороны соизмеримы только в степени, то он иррационален. Сторону квадрата, равновеликого иррациональному прямоугольнику, Евклид называет медиалью; этим вводится первое понятие классификации иррациональностей,принадлежавшей Теэтету.
В результате подробного рассмотрения получается всего 13 видов иррациональностей. Все они являются положительными корнями уравнений
(х² ± 2ах) • (с ± b*с²) = 0
или
(х⁴ ± 2ах²) • (с² ± b*с⁴) = 0
где с — рациональный отрезок, а и b —коэффициенты, в зависимости от свойств которых положительные корни первого уравнения являются биномиалями и вычетами одного из шести родов, а положительные корни второго — остальными двенадцатью иррациональностями.
Труд классификации иррациональностей был предпринят потому, что рещения задач, приводящих к квадратным исводящихся к ним биквадратным уравнениям, нельзя было выразить при помощи рациональных чисел и заданных отрезков. Поскольку у греков отсутствовала возможность алгебраической записи, им приходилось давать словесное выражение результатам решения уравнений, которые иначе обозреть не было бы никакой возможности. Евклидова классификация далеко не охватывает все возможные иррациональности; не говоря уже об иррациональностях высших степеней, которые не были включены потому, что они не могли быть построены разрешенными приемами при помощи циркуля илинейки.

XI книга посвящена стереометрии. Она содержит основные предложенияо прямых и плоскостях в пространстве, задачи на построение (например,опустить из данной точки на данную плоскость перпендикуляр), а также предложения о равновеликости параллелепипедов и призм.
В XII книге с помощью метода исчерпывания доказано, что площади кругов относятся, как квадраты их диаметров, объемы пирамид и конусов сравниваются с объемами соответствующих призм и цилиндров, и наконец, выводится, что объемы шаров относятся, как кубы их диаметров.
XIII книга посвящена построению пяти правильных многогранников — тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра, выражению их ребер через радиус описанной сдеры с помощью иррациональностей X книги и доказательству того, что других правильных тел не существует. Основные результаты этой книги принадлежат Теэтету.
Вначале эти книгам предпослано 28 определений. Сначала дано определение тела, как «того, что имеет длину, ширину и глубину». Это определение, подобно определениям точки, линии и поверхности, данным в книге логически неэффективно; в дальнейшем на него нигде не ссылаются, не делают из него никаких выводов. Таково же определение поверхности как границы тела. Затем даны определения прямой, перпендикулярной к плоскости, и двух перпендикулярных плоскостей; однако Евклид не доказывает, что эти перпендикулярные в самом деле существуют. Затем даются определения наклона, параллельных плоскостей, подобия и равенства (понимаемого в смысле равновеликости) телесных фигур (везде предполагаемых выпуклыми). Далее определяются пирамида, призма, сфера, конус, цилиндр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр. Сфера, конус и цилиндр здесь определены с помощью вращения, в отличие от круга в книге I. Эта непоследовательность является, по-видимому, результатом наслоения различных геометрических традиций.
Книга XI, состоящая из 39 предложений, в основном строится аналогично книге I. Она начинается так же, как обыкновенно начинаются и современные учебники стереометрии, с предложений о перпендикулярных и параллельных прямых и плоскостях, а также об образуемых прямыми плоскостями углах. Затем исследуется параллелепипед и, наконец, призма.
Книга XII содержит 18 предложений, в которых применяется метод исчерпывания для доказательства отношений между объемами тел — п ирамид, конусов, цилиндров, сфер.
В XII книге доказываются следующие теоремы:
1. Объем конуса равен одной трети объема цилиндра с равным основанием и равной высотой; доказательство этой теоремы принадлежит Евдоксу Книдскому.
2. Отношение объемов двух конусов с равными основаниями равно отношению соответствующих высот.
3. Если два конуса равновелики, то площади их оснований обратно пропорциональны соответствующим высотам и наоборот.


Книга XIII, насчитывающая 18 предложений, частично возвращается к предмету книги IV, вписанным в круг правильным многоугольникам, в особенности к правильному треугольнику и пятиугольнику, чтобы -затем перейти к задаче построения и «охватывания заданной сферой» каждого из пяти правильных многогранников: в предложении 13 — пирамиды(тетраэдра), в 14 — октаэдра, в 15 — куба, в 16— икосаэдраи в 17 — додекаэдра. Понимая под выражением «охватить сферой» построение описанной сферы, Евклид выводит для первых трех случаев отношение между диаметром сферы и стороной (ребром) соответствующего многогранника; для остальных двух он указывает лишь, что сторона икссаэдра будет «меньшей» иррациональной, а сторона додекаэдра - вычетом. Предложение 18 сравнивает между собой длины ребер пяти правильных многогранников.
В XIII книге Начал приводятся следующие выражения L длин ребер правильных многогранников через радиус R сферы, в которую они вписаны:

Книга заканчивается добавлением, в котором доказывается, что кроме указанных пяти нельзя построить других правильных многогранников.

Изгибаемые многогранники

Из сравнения «Начал» с сохранившимися более ранними греческими математическими сочинениями или свидетельствами о них удалось установить те части этого труда, вкоторых Евклид использовал открытия своих предшественников, привел их в возможно более строгую логическую систему. Так, считается общепризнанным, что книга V и,вероятно, первые пять предложений книги XIII принадлежат Евдоксу. По-видимому, часть книги X происходит от Теэтета. Однако, тем не менее и эти книги сохраняют общий стиль «Начал», вплоть до слов «что и требовалось доказать» или «что и требовалось построить», которыми заканчиваются предложения, в зависимости от того, являются ли они теоремами или «проблемами», т. е. задачами на построение (слово «проблема» в латинских текстах «Начал» употребляется именно в этом значении). Как заметил М. Кантор , эти заключительные формулы напоминают древнеегипетское «сделай так», которым регулярно заканчивались задачи в книге упражнений Ахмеса, а поэтому, возможно, они были переняты по традиции александрийскими геометрами, вместе со многими знаниями, у египтян. Следует учесть, что благодаря большому распространению «Начал» в древности, при списывании в них могли не только вкрасться описки, но и могли быть включены места, первоначально представлявшие примечания на полях переписчиков.

Подводя итоги, можно сказать, что хотя лишь в редких случаях имеются конкретные указания на то, что то или иное предложение или его доказательство являются результатом оригинального творчества самого Евклида, не может быть сомнения, что автор этого замечательного труда был великим геометром. Гигантская задача систематизации обширного разнообразного материала, которую он столь блестяще выполнил, сама по себе была под силу лишь крупнейшему ученому. Этот труд, являющийся одной из самых распространенных книг, выдержавших на протяжении более чем двух тысячелетий очень большое количество изданий в переводах на многочисленные языки, в сокращенных и переработанных вариантах, служит до сих пор, несмотря на громадное развитие, которое проделала за этот период геометрия, образцом для учебников элементарной геометрии, по которым ведется преподавание в средней школе. Его высокую оценку не может умалить то обстоятельство, что с современной точки зрения мы находим логические недостатки как в определениях, так и в особенности в системе аксиом. Эти недостатки не колеблют прочности оснований геометрии, построенной Евклидом в его бессмертном труде.

Нет сомнения, что одной из важнейших причин, обусловивших столь прочное, выдержавшее двухтысячелетнее испытание научное значение «Начал», были методологические взгляды их автора. Евклид считал, что геометрические фигуры существуют не в царстве идей, а лишь тогда, когда они могут быть построены (по крайней мере, в принципе, отвлекаясь от невозможности построения фигур сколь угодно большой величины); он доказывал их существование их построением и применял движение фигур — их наложение и вращение. Следовательно, вопреки утверждению некоторых историков математики, Евклид в важнейшем вопросе, в вопросе о критерии истины, следовал не за Платоном, а за Аристотелем.

Влияние «Начал» на развитие математики было колоссальным. Мы уже говорили, что Архимед, Аполлоний и другие античные математики опирались на них при своих исследованиях по математике и механике. В конце VIII — начале IX в. появились первые переводы «Начал» на арабский язык, в первой четверти XII в. — на латинский язык.

Первое издание «Начал» на русском языке вышло в 1739 г. В историко-математической литературе до сих пор не перестают появляться все новые толкования как отдельных мест «Начал», так и их общей структуры в целом. При этом с каждой эпохой в развитии нашей науки связано все более глубокое понимание великой книги Евклида.

Здесь прилагается русский перевод Начал Евклида, изданный в 1949 году, выполненный с наиболее достоверного греческого текста (Гейберга) профессором Ростовского университета Д. Д. Мордухай-Болтовским при участии проф. И. Н. Веселовского. Существенную часть этого перевода занимают комментарии к переводу самого переводчика, которые представляют большой самостоятельный интерес, рассматривая основные термины и положения книги Евклида в историческом ракурсе, раскрывая их первоначальную сущность, которая постепенно скрывается во мраке истории и приобретает иную окраску в связи с особенностями интерпретации в различные эпохи различными людьми, принадлежащими к различным культурам. Фактически это отдельная книга внутри книги, не менее захватывающая и интересная.

Евклид. Начала (книги 1 - 6).

Евклид. Начала (книги 7 - 10).

Евклид. Начала (книги 11 - 15).

Трактат Прокла - это единственный дошедший до наших дней античный комментарий к первой книге Евклида. Он представляет первостепенный интерес как с точки зрения истории математики и её преподавания, так и с точки зрения истории философии. Прокл излагает в трактате свои взгляды на природу математики и математического мышления, обсуждает устройство математических текстов, даёт краткий очерк истории античной математики.

Прокл. Комментарий к 1-й книге Начал Евклида..

Прошло более 2000 лет, прежде чем современная наука систематизировало геометрию Евклида. Это произощло в 1899 году, когда Давид Гильберт издал классический труд Основания геометрии. Гильберт предложил новую систему из 20 аксиом, среди которых явно не было ни одной лишней. Аксиоматика Гильберта — система аксиом евклидовой геометрии. Разработана Гильбертом как более полная, нежели система аксиом Евклида. Предложенная им система аксиом считается полной. Она состоит из пяти групп:
аксиомы связи
аксиомы порядка
аксиомы конгруэнтности (т. е. равенства)
аксиомы непрерывности
аксиома параллельности.
Неопределяемыми в этой системе аксиом понятиями являются: точка, прямая линия, плоскость. Есть также 3 элементарных бинарных отношения:
Лежать между - применимо к точкам;
Содержать - применимо к точкам и прямым, точкам и плоскостям или прямым и плоскостям;
Конгруэнтность (геометрическое равенство), применимо, например, к отрезкам, углам или треугольникам, и обозначается инфиксным символом ≅
Гильберт подвергнул предложенную им систему аксиом глубокому и всестороннему исследованию. В частности, он доказал, что его система непротиворечива , если непротиворечива теория действительных чисел. Гильберт доказал независимость некоторых аксиом, помимо аксиомы параллельных. Гильберт исследовал вопрос о том, как далеко можно развить геометрию, если класть в её основание те или иные группы аксиом, на которые расчленяется система. Работой Гильберта были в основном завершены многовековые исследования по обоснованию элементарной геометрии.